Suponha que a população da Terra tem aumentado a uma taxa proporcional à população instantânea denotada por P(t). A constante de proporcionalidade não é conhecida a princípio, mas sabe-se que no ano de 1650 a população era de 600 milhões e em 2000 era de 6 bilhões. Estima-se que a maior população que a Terra é capaz de sustentar seja de 30 bilhões de habitantes. Se a constante de proporcionalidade não se alterar, quando esse limite será atingido?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema sobre crescimento populacional da Terra. A população está aumentando a uma taxa proporcional à população atual, e a gente precisa descobrir quando essa população vai atingir o limite máximo que a Terra pode sustentar, que é de 30 bilhões de habitantes. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais aplicadas ao crescimento exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a taxa de crescimento é proporcional à população instantânea. Isso quer dizer que a variação da população ao longo do tempo pode ser expressa por uma equação diferencial simples:
dPdt = kP(t)
Aqui, $ P(t) $ é a população no tempo $ t $ e $ k $ é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.

Passo 3

A solução dessa equação diferencial é uma função exponencial:
P(t) = P0 e^kt
Onde $ P_0 $ é a população inicial. Mas, como temos um limite de 30 bilhões, vamos adaptar nosso modelo para levar isso em conta, usando a Regressão Logística, que considera um crescimento que se aproxima de um limite máximo $ K $:
P0
Aqui, $ K = 30 $ bilhões.

Passo 4

Vamos usar os dados fornecidos para encontrar a constante $ k $. Sabemos que:
  • Em 1650, $ P(0) = 600 $ milhões.
  • Em 2000, que são $ t = 350 $ anos depois de 1650, $ P(350) = 6 $ bilhões.
Substituindo na equação logística:
k
Primeiro, vamos simplificar a fração:
P(0) = 600
Então a equação fica:
t = 350

Passo 5

Vamos resolver para $ e^{-350k} $:
e^-350k
1 + 49e^-350k = 306 = 5
49e^-350k = 4
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
e^-350k = 449
-350k = ln(449)
Calculando o valor:
k = -1350 ln(449)
ln(449) = ln(4) - ln(49) approx 1.3863 - 3.8918 = -2.5055

Passo 6

Agora que temos $ k $, vamos descobrir quando $ P(t) = 30 $ bilhões. Mas, na equação logística, $ P(t) $ nunca ultrapassa $ K = 30 $ bilhões, atingindo esse valor no limite quando $ t $ tende ao infinito. Porém, para fins práticos, podemos calcular o tempo necessário para a população chegar muito próxima de 30 bilhões, por exemplo, 29.9 bilhões.
Usando a equação logística:
k
Resolvendo para $ t $:
P(t) = 30
P(t)
K = 30
Aplicando o logaritmo:
t
29.9 = 301 + 49e^-0.00716t

Resposta

A população da Terra atingirá o limite de 30 bilhões de habitantes aproximadamente 1341 anos após o ano 2000, ou seja, por volta do ano 3341.

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