Suponha que a população da Terra tem aumentado a uma taxa proporcional à população instantânea denotada por
. A constante de proporcionalidade não é conhecida a princípio, mas sabe-se que no ano de 1650 a população era de 600 milhões e em 2000 era de 6 bilhões. Estima-se que a maior população que a Terra é capaz de sustentar seja de 30 bilhões de habitantes. Se a constante de proporcionalidade não se alterar, quando esse limite será atingido?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema sobre crescimento populacional da Terra. A população está aumentando a uma taxa proporcional à população atual, e a gente precisa descobrir quando essa população vai atingir o limite máximo que a Terra pode sustentar, que é de 30 bilhões de habitantes. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais aplicadas ao crescimento exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a taxa de crescimento é proporcional à população instantânea. Isso quer dizer que a variação da população ao longo do tempo pode ser expressa por uma equação diferencial simples:
Aqui, $ P(t) $ é a população no tempo $ t $ e $ k $ é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.
Passo 3
A solução dessa equação diferencial é uma função exponencial:
Onde $ P_0 $ é a população inicial. Mas, como temos um limite de 30 bilhões, vamos adaptar nosso modelo para levar isso em conta, usando a Regressão Logística, que considera um crescimento que se aproxima de um limite máximo $ K $:
Aqui, $ K = 30 $ bilhões.
Passo 4
Vamos usar os dados fornecidos para encontrar a constante $ k $. Sabemos que:
- Em 1650, $ P(0) = 600 $ milhões.
- Em 2000, que são $ t = 350 $ anos depois de 1650, $ P(350) = 6 $ bilhões.
Substituindo na equação logística:
Primeiro, vamos simplificar a fração:
Então a equação fica:
Passo 5
Vamos resolver para $ e^{-350k} $:
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Calculando o valor:
Passo 6
Agora que temos $ k $, vamos descobrir quando $ P(t) = 30 $ bilhões. Mas, na equação logística, $ P(t) $ nunca ultrapassa $ K = 30 $ bilhões, atingindo esse valor no limite quando $ t $ tende ao infinito. Porém, para fins práticos, podemos calcular o tempo necessário para a população chegar muito próxima de 30 bilhões, por exemplo, 29.9 bilhões.
Usando a equação logística:
Resolvendo para $ t $:
Aplicando o logaritmo:
Resposta
A população da Terra atingirá o limite de 30 bilhões de habitantes aproximadamente 1341 anos após o ano 2000, ou seja, por volta do ano 3341.