Use escalonamento para classificar (quanto a
ou
), os sistemas abaixo e apresente o conjunto solução quando existir:
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
e pede: classificar o sistema quanto a
,
ou
e, quando existir, apresentar o conjunto solução. As informações relevantes são os dois coeficientes de cada equação e os termos independentes: da primeira equação temos coeficientes
(de
) e
(de
) com termo independente
; da segunda temos coeficientes
(de
) e
(de
) com termo independente
.]
Passo 2
Vou usar escalonamento (eliminação de Gauss): a ideia é transformar o sistema por operações equivalentes até obter uma forma triangular, de modo que possamos encontrar
e
facilmente. Operações permitidas (que não mudam o conjunto solução) são:
- trocar duas equações entre si;
- multiplicar uma equação por um número não nulo;
- somar a uma equação um múltiplo de outra.
Essas operações correspondem a manipular a matriz aumentada do sistema sem alterar as soluções. Vou mostrar cada operação e por que fazemos.
Passo 3
Escrevemos a matriz aumentada do sistema:
Para facilitar cálculos, troco as linhas de modo a ter pivô
na primeira linha (isso é só para simplificar): trocando
obtemos
Passo 4
Agora elimino o termo abaixo do pivô
na primeira coluna. Faço
. Calculemos cada entrada de
:
- primeira coluna:
, - segunda coluna:
, - coluna dos termos independentes:
.
A matriz fica
Passo 5
A segunda linha agora corresponde à equação
Para encontrar
dividimos ambos os lados por
:
Expliquei: dividir é permitido porque
; isso nos dá um valor numérico único para
.
Passo 6
Com
, voltamos à primeira linha (que corresponde à equação
) para encontrar
. Substituímos
:
Calculando:
. Somando
em ambos os lados:
Passo 7
Encontramos valores únicos para
e
:
e
. Isso significa que o sistema tem exatamente uma solução (não é impossível nem infinitas soluções). Em termos da classificação pedida, isso corresponde a
(sistema possível e determinado). A razão prática: durante o escalonamento obtivemos pivôs não nulos e chegamos a valores numéricos únicos para todas as incógnitas.