Use escalonamento para classificar (quanto a S I, S P D ou S P I ), os sistemas abaixo e apresente o conjunto solução quando existir:
\left\{\begin{array}{l}2 x-y=7 \\\ x+5 y=-2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 2x - y = 7,\\[4pt] x + 5y = -2, \end{cases}
e pede: classificar o sistema quanto a S I, S P D ou S P I e, quando existir, apresentar o conjunto solução. As informações relevantes são os dois coeficientes de cada equação e os termos independentes: da primeira equação temos coeficientes 2 (de x) e -1 (de y) com termo independente 7; da segunda temos coeficientes 1 (de x) e 5 (de y) com termo independente -2.]

Passo 2

Vou usar escalonamento (eliminação de Gauss): a ideia é transformar o sistema por operações equivalentes até obter uma forma triangular, de modo que possamos encontrar x e y facilmente. Operações permitidas (que não mudam o conjunto solução) são:
  1. trocar duas equações entre si;
  2. multiplicar uma equação por um número não nulo;
  3. somar a uma equação um múltiplo de outra.
    Essas operações correspondem a manipular a matriz aumentada do sistema sem alterar as soluções. Vou mostrar cada operação e por que fazemos.

Passo 3

Escrevemos a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{cc|c} 2 & -1 & 7\\[4pt] 1 & 5 & -2 \end{array}\right].
Para facilitar cálculos, troco as linhas de modo a ter pivô 1 na primeira linha (isso é só para simplificar): trocando L_1 \longleftrightarrow L_2 obtemos
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 5 & -2\\[4pt] 2 & -1 & 7 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora elimino o termo abaixo do pivô 1 na primeira coluna. Faço L_2 \leftarrow L_2 - 2\cdot L_1. Calculemos cada entrada de L_2:
  • primeira coluna: 2 - 2\cdot 1 = 0,
  • segunda coluna: -1 - 2\cdot 5 = -1 - 10 = -11,
  • coluna dos termos independentes: 7 - 2\cdot(-2) = 7 - (-4) = 7 + 4 = 11.
    A matriz fica
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 5 & -2\\[4pt] 0 & -11 & 11 \end{array}\right].]

Passo 5

A segunda linha agora corresponde à equação
-11\,y = 11.
Para encontrar y dividimos ambos os lados por -11:
y = \frac{11}{-11} = -1.
Expliquei: dividir é permitido porque -11\neq 0; isso nos dá um valor numérico único para y.

Passo 6

Com y=-1, voltamos à primeira linha (que corresponde à equação x + 5y = -2) para encontrar x. Substituímos y:
x + 5(-1) = -2.
Calculando: x -5 = -2. Somando 5 em ambos os lados:
x = -2 + 5 = 3.

Passo 7

Encontramos valores únicos para x e y: x=3 e y=-1. Isso significa que o sistema tem exatamente uma solução (não é impossível nem infinitas soluções). Em termos da classificação pedida, isso corresponde a S P D (sistema possível e determinado). A razão prática: durante o escalonamento obtivemos pivôs não nulos e chegamos a valores numéricos únicos para todas as incógnitas.

Resposta

\text{S P D}
(x,y)=(3,-1)

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