Seja a o módulo do número complexo
Então o valor de
que verifica a igualdade
, é.
.
Passo 1
O enunciado dá que
é o módulo do número complexo
e nos pede o valor de
que verifica a igualdade
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão cujo módulo define
é . - A incógnita é
na equação . - Não há outras incógnitas nem dados adicionais.
Passo 2
Primeiro precisamos calcular
. Para isso vamos achar o módulo do número complexo base
. Lembrete prático: se
, o módulo de
é dado por
Aqui
(parte real) e
(parte imaginária). Então calculamos:
Somando,
portanto
Passo 3
Agora usamos a propriedade do módulo de potências: para todo complexo
e inteiro
,
Uma maneira rápida de entender: ao multiplicar complexos, os módulos se multiplicam, logo ao elevar a potência
o módulo fica elevado a
. Aplicando ao nosso caso,
Passo 4
Substituímos
na equação dada
. Ficamos com
Usamos a propriedade de potências com mesma base:
. Assim
e a equação vira
Passo 5
Aplicamos a propriedade de potência de potência:
. Então
Como a base
é positiva e diferente de
, podemos igualar os expoentes:
Daí