Seja a o módulo do número complexo (2-2 \sqrt{3 i})^{10} Então o valor de x que verifica a igualdade (4 a)^{x}=a, é. R: 10 / 11.

Passo 1

O enunciado dá que a é o módulo do número complexo (2-2\sqrt{3}\,i)^{10} e nos pede o valor de x que verifica a igualdade
(4a)^{x}=a.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão cujo módulo define a é (2-2\sqrt{3}\,i)^{10}.
  • A incógnita é x na equação (4a)^{x}=a.
  • Não há outras incógnitas nem dados adicionais.

Passo 2

Primeiro precisamos calcular a. Para isso vamos achar o módulo do número complexo base z=2-2\sqrt{3}\,i. Lembrete prático: se z=\alpha+\beta i, o módulo de z é dado por
|z|=\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}.
Aqui \alpha=2 (parte real) e \beta=-2\sqrt{3} (parte imaginária). Então calculamos:
\alpha^{2}=2^{2}=4,
\beta^{2}=(-2\sqrt{3})^{2}=4\cdot 3=12.
Somando,
\alpha^{2}+\beta^{2}=4+12=16,
portanto
|2-2\sqrt{3}\,i|=\sqrt{16}=4.

Passo 3

Agora usamos a propriedade do módulo de potências: para todo complexo z e inteiro n,
|z^{n}|=|z|^{n}.
Uma maneira rápida de entender: ao multiplicar complexos, os módulos se multiplicam, logo ao elevar a potência n o módulo fica elevado a n. Aplicando ao nosso caso,
a=|(2-2\sqrt{3}\,i)^{10}|=|2-2\sqrt{3}\,i|^{10}=4^{10}.

Passo 4

Substituímos a=4^{10} na equação dada (4a)^{x}=a. Ficamos com
\bigl(4\cdot 4^{10}\bigr)^{x}=4^{10}.
Usamos a propriedade de potências com mesma base: b^{m}\cdot b^{n}=b^{m+n}. Assim
4\cdot 4^{10}=4^{1}\cdot 4^{10}=4^{11},
e a equação vira
(4^{11})^{x}=4^{10}.

Passo 5

Aplicamos a propriedade de potência de potência: (b^{m})^{n}=b^{mn}. Então
4^{11x}=4^{10}.
Como a base 4 é positiva e diferente de 1, podemos igualar os expoentes:
11x=10.
Daí
x=\frac{10}{11}.

Resposta

\dfrac{10}{11}

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