Determine as raízes quartas do número complexo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para descobrir as raízes quartas do número complexo
. Isso está na área de números complexos, especificamente lidando com potências e raízes. Para resolver, vamos precisar usar a forma trigonométrica dos números complexos e aplicar a fórmula de De Moivre para encontrar todas as raízes quartas.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar o número complexo
na forma trigonométrica. Um número complexo na forma
pode ser convertido para
, onde
é o módulo e
é o argumento.
Aqui,
e
, então:
E para
:
Então,
pode ser escrito como:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as raízes quartas usando a fórmula de De Moivre. A fórmula nos diz que as
-ésimas raízes de um número complexo
são dadas por:
Onde
. No nosso caso,
.
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula com
,
e
:
Simplificando dentro do cosseno e seno:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular para cada valor de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Assim, as quatro raízes quartas de
são:
Resposta
As raízes quartas de
são: