Determine as raízes quartas do número complexo 33 i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para descobrir as raízes quartas do número complexo 33i. Isso está na área de números complexos, especificamente lidando com potências e raízes. Para resolver, vamos precisar usar a forma trigonométrica dos números complexos e aplicar a fórmula de De Moivre para encontrar todas as raízes quartas.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar o número complexo 33i na forma trigonométrica. Um número complexo na forma a + bi pode ser convertido para r(cos theta + i sin theta), onde r é o módulo e theta é o argumento.
Aqui, a = 0 e b = 33, então:
r = raiza^2 + b^2 = raiz0^2 + 33^2 = 33
E para theta:
theta = arctan(ba) = arctan(330) = pi2
Então, 33i pode ser escrito como:
33 ( cos pi2 + i sin pi2 )

Passo 3

Agora, vamos encontrar as raízes quartas usando a fórmula de De Moivre. A fórmula nos diz que as n-ésimas raízes de um número complexo r(cos theta + i sin theta) são dadas por:
raiz[n]r ( cos ( theta + 2kpin ) + i sin ( theta + 2kpin ) )
Onde k = 0, 1, 2, dots, n-1. No nosso caso, n = 4.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula com r = 33, theta = pi2 e n = 4:
raiz[4]33 ( cos ( pi2 + 2kpi4 ) + i sin ( pi2 + 2kpi4 ) )
Simplificando dentro do cosseno e seno:
pi2 + 2kpi4 = pi8 + kpi2
Então, a expressão fica:
raiz[4]33 ( cos ( pi8 + kpi2 ) + i sin ( pi8 + kpi2 ) )

Passo 5

Agora, vamos calcular para cada valor de k = 0, 1, 2, 3:
  • Para k = 0:
raiz[4]33 ( cos pi8 + i sin pi8 )
  • Para k = 1:
raiz[4]33 ( cos ( pi8 + pi2 ) + i sin ( pi8 + pi2 ) ) = raiz[4]33 ( cos 5pi8 + i sin 5pi8 )
  • Para k = 2:
raiz[4]33 ( cos ( pi8 + pi ) + i sin ( pi8 + pi ) ) = raiz[4]33 ( cos 9pi8 + i sin 9pi8 )
  • Para k = 3:
raiz[4]33 ( cos ( pi8 + 3pi2 ) + i sin ( pi8 + 3pi2 ) ) = raiz[4]33 ( cos 13pi8 + i sin 13pi8 )

Passo 6

Assim, as quatro raízes quartas de 33i são:
raiz[4]33 ( cos pi8 + i sin pi8 )
raiz[4]33 ( cos 5pi8 + i sin 5pi8 )
raiz[4]33 ( cos 9pi8 + i sin 9pi8 )
raiz[4]33 ( cos 13pi8 + i sin 13pi8 )

Resposta

As raízes quartas de 33i são:
raiz[4]33 ( cos pi8 + i sin pi8 )
raiz[4]33 ( cos 5pi8 + i sin 5pi8 )
raiz[4]33 ( cos 9pi8 + i sin 9pi8 )
raiz[4]33 ( cos 13pi8 + i sin 13pi8 )

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