Escreva na forma trigonométrica e exponencial os números complexos:
Passo 1
Beleza, então a gente tem o número complexo $ z = 4 $ e precisamos reescrevê-lo nas formas trigonométrica e exponencial. Para isso, vamos usar os conceitos de módulo e argumento de um número complexo, além das fórmulas que conectam essas formas.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar $ z $ na forma trigonométrica. A forma trigonométrica de um número complexo é dada por:
Onde:
- $ r $ é o módulo de $ z $, que representa a distância do ponto até a origem no plano complexo.
- $ \theta $ é o argumento de $ z $, que é o ângulo formado com o eixo real.
Para encontrar $ r $ e $ \theta $, observamos que $ z = 4 $ está no eixo real positivo. Assim:
Portanto, a forma trigonométrica fica:
Passo 3
Agora, vamos escrever $ z $ na forma exponencial. A forma exponencial de um número complexo utiliza a fórmula de Euler:
Já sabemos que $ r = 4 $ e $ \theta = 0 $, então substituindo temos:
Isso confirma que a nossa representação está correta.
Resposta
A representação trigonométrica de $ z = 4 $ é:
E a representação exponencial é: