Resolva no conjunto dos números complexos a equação:
x^4+4=0

Passo 1

Vamos resolver a equação $ x^{4} + 4 = 0 $ no conjunto dos números complexos. Aqui, estamos lidando com equações polinomiais e vamos utilizar conceitos de números complexos e raízes de equações para encontrar todas as soluções possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar $ x^{4} $ na equação. Subtraindo 4 de ambos os lados, temos:
x^4

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos encontrar as raízes quárticas de -4 no plano complexo. Isso envolve representar -4 em forma polar. Sabemos que qualquer número complexo pode ser escrito como $ r \cdot (\cos \theta + i \sin \theta) $, onde $ r $ é o módulo e $ \theta $ é o argumento.

Passo 4

Vamos identificar o módulo $ r $ e o argumento $ \theta $ de r :
  • Módulo $ r $: É o valor absoluto de theta , ou seja, $ r = 4 $.
  • Argumento $ \theta $: -4 está no eixo real negativo, então $ \theta = 180^\circ $ (ou $ \pi $ radianos).
Portanto, podemos escrever:
r

Passo 5

Agora, para encontrar as raízes quárticas, usamos a fórmula de De Moivre, que nos permite calcular as raízes $ n $-ésimas de um número complexo. A fórmula é:
n
onde $ k = 0, 1, 2, ···, n-1 $ e $ n $ é o grau da raiz (nesse caso, 4).

Passo 6

Aplicando a fórmula com $ r = 4 $, $ \theta = 180^\circ $, e $ n = 4 $:
r = 4
Calculando $ \sqrt[4]{4} $:
theta = 180^circ

Passo 7

Agora, calculamos as quatro raízes para $ k = 0, 1, 2, 3 $:
  1. Para $ k = 0 $:
k = 0, 1, 2, 3
  1. Para $ k = 1 $:
k = 0
  1. Para $ k = 2 $:
x0 = raiz2 cdot ( cos ( 180^circ4 ) + i sin ( 180^circ4 ) ) = raiz2 cdot (cos 45^circ + i sin 45^circ) = raiz2 ( raiz22 + i raiz22 ) = 1 + i
  1. Para $ k = 3 $:
k = 1

Resposta

As soluções da equação $ x^{4} + 4 = 0 $ no conjunto dos números complexos são:
x^4 + 4 = 0

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