Resolva no conjunto dos números complexos a equação:
Passo 1
Vamos resolver a equação $ x^{4} + 4 = 0 $ no conjunto dos números complexos. Aqui, estamos lidando com equações polinomiais e vamos utilizar conceitos de números complexos e raízes de equações para encontrar todas as soluções possíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar $ x^{4} $ na equação. Subtraindo 4 de ambos os lados, temos:
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos encontrar as raízes quárticas de
no plano complexo. Isso envolve representar
em forma polar. Sabemos que qualquer número complexo pode ser escrito como $ r \cdot (\cos \theta + i \sin \theta) $, onde $ r $ é o módulo e $ \theta $ é o argumento.
Passo 4
Vamos identificar o módulo $ r $ e o argumento $ \theta $ de
:
- Módulo $ r $: É o valor absoluto de
, ou seja, $ r = 4 $. - Argumento $ \theta $:
está no eixo real negativo, então $ \theta = 180^\circ $ (ou $ \pi $ radianos).
Portanto, podemos escrever:
Passo 5
Agora, para encontrar as raízes quárticas, usamos a fórmula de De Moivre, que nos permite calcular as raízes $ n $-ésimas de um número complexo. A fórmula é:
onde $ k = 0, 1, 2, ···, n-1 $ e $ n $ é o grau da raiz (nesse caso, 4).
Passo 6
Aplicando a fórmula com $ r = 4 $, $ \theta = 180^\circ $, e $ n = 4 $:
Calculando $ \sqrt[4]{4} $:
Passo 7
Agora, calculamos as quatro raízes para $ k = 0, 1, 2, 3 $:
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
- Para $ k = 2 $:
- Para $ k = 3 $:
Resposta
As soluções da equação $ x^{4} + 4 = 0 $ no conjunto dos números complexos são: