Determine as raízes racionais de
e, sempre que possível, escreva
como um produto de fatores lineares:
Passo 1
O enunciado nos dá o polinômio cúbico
e pede as raízes racionais e, sempre que possível, a fatoração em fatores lineares. Para isso vamos usar o Teorema das Raízes Racionais, divisão sintética e, depois, resolver o polinômio de grau 2 que surgir.
Passo 2
Pelo Teorema das Raízes Racionais, todo candidato a raiz racional tem a forma
, em que
divide o termo independente
e
divide o coeficiente líder
. Assim, as possibilidades são
Passo 3
Vamos testar
. Calculando
logo
é raiz de
.
Passo 4
Aplicamos divisão sintética de
por
. Colocando os coeficientes
e usando
, obtemos o polinômio quadratíco resultante
Passo 5
Resolvemos a equação
Dividindo por 2, vem
cujos coeficientes dão discriminante
Assim as raízes são
Passo 6
Concluímos que as raízes racionais de
são
Logo a fatoração completa em fatores lineares é
Observando que
podemos escrever também
Resposta
As raízes racionais são
(com multiplicidade 2) e
.
A fatoração em fatores lineares é
A fatoração em fatores lineares é