Determine as raízes racionais de f(x) e, sempre que possível, escreva f(x) como um produto de fatores lineares:
f(x)=x^{4}+6 x^{3}+x^{2}-24 x+16

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes racionais de
f(x)=x^{4}+6x^{3}+x^{2}-24x+16
e, sempre que possível, escrever f(x) como produto de fatores lineares.
O conteúdo principal aqui é o Teorema das Raízes Racionais e divisão sintética para fatorar polinômios.

Passo 2

Pelo Teorema das Raízes Racionais, as raízes possíveis são da forma \pm \tfrac{d}{1}, onde d divide 16. Logo, as candidatas são
\pm 1,\\ \pm 2,\\ \pm 4,\\ \pm 8,\\ \pm 16.

Passo 3

Testando x=1:
f(1)=1+6+1-24+16=0,
logo x=1 é raiz. Fazemos divisão sintética de f(x) por (x-1):
Coeficientes: 1,\;6,\;1,\;-24,\;16
Sintético com 1:
\begin{array}{r|rrrrr} 1 & 1 & 6 & 1 & -24 & 16\\\ & & 1 & 7 & 8 & -16\\hline & 1 & 7 & 8 & -16 & 0 \end{array}
O quociente é x^{3}+7x^{2}+8x-16.

Passo 4

Agora fatoramos g(x)=x^{3}+7x^{2}+8x-16. Testando x=1 de novo:
g(1)=1+7+8-16=0,
então x=1 é raiz de g. Dividindo sinteticamente por (x-1):
Coeficientes: 1,\;7,\;8,\;-16
Sintético com 1:
\begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 7 & 8 & -16\\\ & & 1 & 8 & 16\\hline & 1 & 8 & 16 & 0 \end{array}
O quociente é x^{2}+8x+16.

Passo 5

Fatoramos a quadrática
x^{2}+8x+16.
O discriminante é
\Delta = 8^{2}-4\cdot1\cdot16 = 64 - 64 = 0,
logo há raiz dupla
x = \frac{-8}{2} = -4.
Assim
x^{2}+8x+16 = (x+4)^{2}.

Passo 6

Juntando tudo, obtemos
f(x)=(x-1)\,(x-1)\,(x+4)\,(x+4) = (x-1)^{2}(x+4)^{2}.
As raízes racionais são x=1 (multiplicidade 2) e x=-4 (multiplicidade 2).

Resposta

As raízes racionais são 1 (de multiplicidade 2) e -4 (de multiplicidade 2), e
f(x)=(x-1)^{2}(x+4)^{2}.

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