Determine as raízes racionais de f(x) e, sempre que possível, escreva f(x) como um produto de fatores lineares:
f(x)=x^{3}-3 x^{2}-10 x+24

Passo 1

O enunciado pede para determinar as raízes racionais de f(x)=x^{3}-3x^{2}-10x+24 e, sempre que possível, escrever f(x) como produto de fatores lineares. Para isso, vamos usar o Teorema das Raízes Racionais e, em seguida, fazer divisão sintética para fatorar o polinômio.

Passo 2

Segundo o Teorema das Raízes Racionais, as possíveis raízes p/q são divisores de 24 (coeficiente constante) divididos pelos divisores de 1 (coeficiente líder). Logo, os candidatos são
\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm8,\pm12,\pm24.
Testamos cada um até encontrar uma raiz.

Passo 3

Testando x=2:
f(2)=2^{3}-3\cdot2^{2}-10\cdot2+24=8-12-20+24=0.
Portanto, x=2 é raiz de f, e (x-2) é fator.

Passo 4

Para obter o quociente, fazemos divisão sintética de f(x) por (x-2). Colocando os coeficientes 1,\,-3,\,-10,\,24 e usando 2:
\begin{array}{c|rrrr} 2 & 1 & -3 & -10 & 24\\\ & & 2 & -2 & -24\\hline & 1 & -1 & -12 & 0 \end{array}
Isso mostra que
f(x)=(x-2)\bigl(x^{2}-x-12\bigr).

Passo 5

Agora fatoramos o quadrático x^{2}-x-12. Buscamos dois números cujo produto seja -12 e soma seja -1. São -4 e 3. Logo,
x^{2}-x-12 = (x-4)(x+3).

Passo 6

Reunindo tudo, obtemos a fatoração completa:
f(x) = (x-2)(x-4)(x+3).
As raízes são x=2, x=4 e x=-3.

Resposta

As raízes racionais são 2, 4 e -3, e
f(x)=(x-2)(x-4)(x+3).

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