Determine, usando as propriedades da divisão:
o polinômio mônico f(x) de grau 5 , tal que
f(-2)=f(-1)=f(0)=f(1)=f(2)=0 ;

Passo 1

O enunciado pede um polinômio monico de grau 5 que zere em -2,-1,0,1,2. Como sabemos que se f(r)=0 então (x-r) é fator de f(x), basta montar o produto dos fatores correspondentes a essas raízes.

Passo 2

Escrevemos então
f(x) = (x - (-2))\,(x - (-1))\,(x - 0)\,(x - 1)\,(x - 2) = (x+2)(x+1)\,x\,(x-1)(x-2).

Passo 3

Para simplificar a expansão, agrupamos fatores simétricos em polinômios de segundo grau:
(x+2)(x-2)=x^2-4, \quad (x+1)(x-1)=x^2-1.
Logo
f(x)=x\,(x^2-1)(x^2-4).

Passo 4

Expandimos (x^2-1)(x^2-4):
(x^2-1)(x^2-4)=x^4-4x^2 - x^2 +4 = x^4 -5x^2 +4.
Multiplicando por x, obtemos
f(x)=x^5 -5x^3 +4x.

Resposta

f(x)=x^5 -5x^3 +4x

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