Determine as raízes com suas respectivas multiplicidades das seguintes equações polinômiais:
(b) P(x) = 4x^5 + 9x^4 - 5x^2 - x + 1 = 0.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos encontrar as raízes (os valores de que fazem ) do polinômio , além de suas multiplicidades. Para isso, vamos utilizar o Teorema das Raízes Racionais e métodos de fatoração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o polinômio somando os termos semelhantes. Temos e , que somam . Então, o polinômio fica:

Passo 3

Para encontrar as raízes, vamos usar o Teorema das Raízes Racionais, que nos diz que possíveis raízes racionais são da forma í.
Aqui, o termo constante é (com fatores ) e o coeficiente líder é (com fatores ). Então, os possíveis valores de são:

Passo 4

Vamos testar :
Não é raiz.

Passo 5

Agora, testamos :
Também não é raiz.

Passo 6

Vamos testar :
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Não é raiz.

Passo 7

Testamos agora :
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Não é raiz.

Passo 8

Vamos testar :
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Não é raiz.

Passo 9

Por fim, testamos :
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Também não é raiz.

Passo 10

Nenhum dos possíveis valores de testados resultou em . Isso indica que o polinômio não possui raízes racionais. Portanto, as raízes são todas irracionais ou complexas e cada uma delas tem multiplicidade igual a 1.

Resposta

O polinômio não possui raízes racionais. Assim, suas raízes são todas irracionais ou complexas, cada uma com multiplicidade igual a 1.

Exercícios relacionados