Verifique que Im(f) ⊆ Dom(g) e determine g(f) se:
(b) f(x) = { -2x, para x < -1; x^2, para -1 <= x <= 1; -x, para x > 1 } e g(u) = u^2, u pertence a R,

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas funções, e . Precisamos verificar se a imagem de está contida no domínio de , ou seja, se todo valor que pode assumir também está dentro do conjunto onde está definida. Depois, vamos determinar a função composta , que significa aplicar primeiro e depois no resultado de .
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Imagem de uma função: É o conjunto de todos os valores que a função pode produzir.
  • Domínio de uma função: É o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a função está definida.
  • Função composta: É a aplicação de uma função dentro da outra, ou seja, .

Passo 2

Vamos começar encontrando a imagem de . A função está definida por partes:
Vamos analisar cada parte:
  1. Para :
    Como , será positivo. À medida que se aproxima de , cresce sem limites. Então, para , varia de a .
  2. Para :
    O menor valor de é quando , e o máximo é quando . Então, nessa faixa, varia de a .
  3. Para :
    Aqui, será negativo, e à medida que aumenta, diminui sem limites. Então, para , varia de a .
Resumindo a imagem de :

Passo 3

Agora, vamos identificar o domínio de . A função está definida por:
Isso significa que está definida para todos os números reais. Portanto:

Passo 4

Vamos verificar se a imagem de está contida no domínio de . Sabemos que:
Como é todo o conjunto dos números reais, naturalmente, qualquer subconjunto, incluindo , está contido em . Portanto:

Passo 5

Agora, vamos determinar a função composta , que significa .
Lembrando que:
Então:
Vamos aplicar isso para cada parte de :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

Resposta

A função composta é dada por:

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