a) As funções cosseno seno hiperbólicos complexos são definidas por:
\operatorname{cosh} z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2} \text { e } \operatorname{senh} z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2} .
Mostre que essas funções são inteiras e calcule suas derivadas. Explicite essas funções na forma u+i v.
b) Ponha \operatorname{tanh} z=\frac{\operatorname{senh} z}{\operatorname{cosh} z}. Calcule sua derivada. Explicite essa função na forma u+i v. Determine os pontos z para os quais tanh z é real.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • O enunciado dá as definições:
\operatorname{cosh} z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2},\qquad \operatorname{senh} z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}.
  • Perguntas:
    1. Mostrar que \operatorname{cosh} z e \operatorname{senh} z são funções inteiras (ou seja, holomorfas em todo \mathbb{C}) e calcular suas derivadas.
    2. Explicitar \operatorname{cosh} z e \operatorname{senh} z na forma u+i v (ou seja, separar parte real e imaginária para z=x+iy).
    3. Definir \operatorname{tanh} z=\dfrac{\operatorname{senh} z}{\operatorname{cosh} z}, calcular sua derivada.
    4. Explicitar \operatorname{tanh} z na forma u+i v.
    5. Determinar os pontos z para os quais \operatorname{tanh} z é real.
  • Dados úteis que já temos (a partir do enunciado): a função exponencial complexa e^{z} é a mesma função usada nas definições acima.
Agora começo a resolver e a ensinar passo a passo.

Passo 2

Explicar por que e^{z} é inteira e consequência: somas e combinações são inteiras.
  • Lembrete rápido: uma função é inteira quando é holomorfa (complexamente diferenciável) em todo \mathbb{C}. A função exponencial \,z\mapsto e^{z}\, é clássica e conhecida por ser inteira; uma maneira curta de ver isso é que a série de Taylor e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}converge para todo z\in\mathbb{C}. Uma série de potências que converge em todo \mathbb{C} define uma função inteira, e a derivada termo a termo mostra derivabilidade em todo lugar.
  • Consequência importante (propriedade básica de funções holomorfas): somas, diferenças, produtos e constantes múltiplas de funções inteiras são inteiras; também a composição com polinômios mantém a entiridade. Em particular, se e^{z} é inteira então e^{-z} (que é e^{(-1)z}) também é inteira; portanto as combinações \operatorname{cosh} z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2},\qquad \operatorname{senh} z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}são soma e diferença de funções inteiras e, divididas por 2 (constante), continuam sendo inteiras.
  • Conclusão dada a este raciocínio: \operatorname{cosh} z e \operatorname{senh} z são inteiras.

Passo 3

Calcular as derivadas de \operatorname{cosh} z e \operatorname{senh} z.
  • Usamos que a derivada de e^{z} é e^{z} para todo z. Diferenciando as definições termo a termo: \frac{d}{dz}\operatorname{cosh} z=\frac{d}{dz}\left(\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}\right) =\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}=\operatorname{senh} z.
\frac{d}{dz}\operatorname{senh} z=\frac{d}{dz}\left(\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}\right) =\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}=\operatorname{cosh} z.
  • Ou seja, as derivadas ficam muito simples e bonitas: \frac{d}{dz}\operatorname{cosh} z=\operatorname{senh} z,\qquad \frac{d}{dz}\operatorname{senh} z=\operatorname{cosh} z.
  • Comentário intuitivo: isso é análogo ao caso real, só que aqui vale para todo z\in\mathbb{C} porque as operações foram feitas sobre funções inteiras.

Passo 4

Mostrar a identidade fundamental \operatorname{cosh}^{2}z-\operatorname{senh}^{2}z=1 (útil para a derivada de \operatorname{tanh}).
  • Calcule diretamente usando definições: \operatorname{cosh}^{2}z-\operatorname{senh}^{2}z =\left(\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}\right)^{2}.
  • Expandindo: =\frac{e^{2z}+2+e^{-2z} - (e^{2z}-2+e^{-2z})}{4} =\frac{4}{4}=1.
  • Conclusão: \operatorname{cosh}^{2}z-\operatorname{senh}^{2}z=1 para todo z\in\mathbb{C}.

Passo 5

Explicitar \operatorname{cosh} z e \operatorname{senh} z na forma u+i v para z=x+iy (a parte real e imaginária).
  • Primeiro escrever e^{z} e e^{-z} separados: e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos y + i\sin y),
e^{-z}=e^{-x-iy}=e^{-x}(\cos y - i\sin y).
(aquilo é a regra e^{a+ib}=e^{a}(\cos b + i\sin b).)
  • Agora aplicar nas definições: \operatorname{cosh} z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2} =\frac{e^{x}(\cos y + i\sin y)+e^{-x}(\cos y - i\sin y)}{2}.Agrupando parte real e imaginária: \operatorname{cosh} z=\underbrace{\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\cos y}_{\text{parte real}} \;+\; i\underbrace{\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\sin y}_{\text{parte imaginária}}.áReconhecendo hiperbólicas reais \operatorname{cosh} x=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2} e \operatorname{sinh} x=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}, obtemos \boxed{\operatorname{cosh} z=\operatorname{cosh} x\cos y + i\,\operatorname{sinh} x\sin y.}
  • De modo semelhante para \operatorname{senh} z: \operatorname{senh} z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2} =\frac{e^{x}(\cos y + i\sin y)-e^{-x}(\cos y - i\sin y)}{2}.Agrupando: \operatorname{senh} z=\underbrace{\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\cos y}_{\text{parte real}} \;+\; i\underbrace{\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\sin y}_{\text{parte imaginária}},áou seja \boxed{\operatorname{senh} z=\operatorname{sinh} x\cos y + i\,\operatorname{cosh} x\sin y.}
  • Esses são exatamente as formas u+i v pedidas, com u,v expressos por funções reais de x e y.

Passo 6

Checar coerência com as derivadas usando as formas u+i v (aula rápida de verificação).
  • Se escrevemos \operatorname{cosh} z=\operatorname{cosh} x\cos y + i\operatorname{sinh} x\sin y, podemos calcular a derivada usando regras de derivada complexa (por exemplo diferenciando a série ou usando derivada componente por componente e a fórmula de Wirtinger). Mas a verificação direta mais simples já feita em Passo 3 (derivando as exponenciais) é suficiente e consistente: \dfrac{d}{dz}\operatorname{cosh} z=\operatorname{senh} z e \dfrac{d}{dz}\operatorname{senh} z=\operatorname{cosh} z. Isso combina com as identidades entre derivadas de \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh} reais e as dependências das funções \cos e \sin.

Passo 7

Definir \operatorname{tanh} z e calcular sua derivada (regra do quociente, usando a identidade do Passo 4).
  • Definição: \operatorname{tanh} z=\frac{\operatorname{senh} z}{\operatorname{cosh} z},desde que \operatorname{cosh} z\neq 0 (nos pontos onde \operatorname{cosh} z=0 a \operatorname{tanh} z não está definida).
  • Aplicar a regra do quociente (válida para funções holomorfas onde o denominador não zera): \frac{d}{dz}\operatorname{tanh} z =\frac{\operatorname{cosh} z\cdot\frac{d}{dz}\operatorname{senh} z - \operatorname{senh} z\cdot\frac{d}{dz}\operatorname{cosh} z}{\operatorname{cosh}^{2} z}.
  • Substituir as derivadas já obtidas ( \frac{d}{dz}\operatorname{senh} z=\operatorname{cosh} z e \frac{d}{dz}\operatorname{cosh} z=\operatorname{senh} z): \frac{d}{dz}\operatorname{tanh} z =\frac{\operatorname{cosh} z\cdot\operatorname{cosh} z - \operatorname{senh} z\cdot\operatorname{senh} z}{\operatorname{cosh}^{2} z} =\frac{\operatorname{cosh}^{2} z-\operatorname{senh}^{2} z}{\operatorname{cosh}^{2} z}.
  • Usando a identidade do Passo 4 \operatorname{cosh}^{2}z-\operatorname{senh}^{2}z=1, obtemos \boxed{\frac{d}{dz}\operatorname{tanh} z=\frac{1}{\operatorname{cosh}^{2} z}=\operatorname{sech}^{2} z.}
  • Outra forma equivalente, usando álgebra, é \frac{d}{dz}\operatorname{tanh} z=1-\operatorname{tanh}^{2} z,pois \operatorname{sech}^{2} z=1-\operatorname{tanh}^{2} z (essa igualdade segue de \operatorname{cosh}^{2}z-\operatorname{senh}^{2}z=1 dividindo por \operatorname{cosh}^{2}z).

Passo 8

Explicitar \operatorname{tanh} z na forma u+i v para z=x+iy.
  • Começamos pelas expressões do Passo 5: \operatorname{senh} z=\operatorname{sinh} x\cos y + i\operatorname{cosh} x\sin y,\qquad \operatorname{cosh} z=\operatorname{cosh} x\cos y + i\operatorname{sinh} x\sin y.
  • Escreça \operatorname{tanh} z=\dfrac{A+iB}{C+iD} com A=\operatorname{sinh} x\cos y,\quad B=\operatorname{cosh} x\sin y,\quad C=\operatorname{cosh} x\cos y,\quad D=\operatorname{sinh} x\sin y.
  • Multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador C-iD: \operatorname{tanh} z=\frac{(A+iB)(C-iD)}{C^{2}+D^{2}} =\frac{AC+BD + i(BC-AD)}{C^{2}+D^{2}}.
  • Calcular AC+BD e BC-AD: AC+BD=\operatorname{sinh} x\operatorname{cosh} x(\cos^{2}y+\sin^{2}y)=\operatorname{sinh} x\operatorname{cosh} x,
BC-AD=\sin y\cos y(\operatorname{cosh}^{2}x-\operatorname{sinh}^{2}x)=\sin y\cos y\cdot 1=\sin y\cos y.
  • Calcular C^{2}+D^{2}. Usando identidades de dupla-ângulo (ou desenvolvendo e reagrupando) obtemos C^{2}+D^{2}=\operatorname{cosh}^{2}x\cos^{2}y+\operatorname{sinh}^{2}x\sin^{2}y =\frac{\operatorname{cosh} 2x+\cos 2y}{2}.(detalhe rápido: expandir usando \operatorname{cosh}^{2}x=(\operatorname{cosh} 2x+1)/2 e \cos^{2}y=(1+\cos 2y)/2, etc.)
  • Reescrevendo o numerador usando dobrar-ângulo: \operatorname{sinh} x\operatorname{cosh} x=\dfrac{\operatorname{sinh} 2x}{2} e \sin y\cos y=\dfrac{\sin 2y}{2}.
  • Portanto: \operatorname{tanh} z=\frac{\dfrac{\operatorname{sinh} 2x}{2} + i\,\dfrac{\sin 2y}{2}}{\dfrac{\operatorname{cosh} 2x+\cos 2y}{2}} =\frac{\operatorname{sinh} 2x + i\sin 2y}{\operatorname{cosh} 2x + \cos 2y}.
  • Assim temos a forma u+i v explícita: \boxed{\operatorname{tanh}(x+iy)=\frac{\operatorname{sinh} 2x}{\operatorname{cosh} 2x + \cos 2y} \;+\; i\frac{\sin 2y}{\operatorname{cosh} 2x + \cos 2y}.}Ou seja, u(x,y)=\frac{\operatorname{sinh} 2x}{\operatorname{cosh} 2x + \cos 2y},\qquad v(x,y)=\frac{\sin 2y}{\operatorname{cosh} 2x + \cos 2y}.

Passo 9

Determinar os pontos z=x+iy onde \operatorname{tanh} z é real.
  • Pela forma do Passo 8, \operatorname{tanh} z é real exatamente quando a parte imaginária v(x,y) é zero (e além disso \operatorname{tanh} z está definida, ou seja \operatorname{cosh} z\neq 0, o que coincide com o denominador \operatorname{cosh} 2x+\cos 2y\neq 0).
  • Da fórmula: v(x,y)=\frac{\sin 2y}{\operatorname{cosh} 2x + \cos 2y}.Como o denominador é real, v(x,y)=0 \iff \sin 2y=0, desde que o denominador não seja zero.
  • Resolver \sin 2y=0: \sin 2y=0\iff 2y=k\pi\iff y=\frac{k\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.
  • Verificar possíveis pontos problemáticos (pólos onde \operatorname{tanh} não está definida): o denominador \operatorname{cosh} 2x+\cos 2y pode ser zero. Isso acontece quando \operatorname{cosh} 2x + \cos 2y =0 \iff \operatorname{cosh} 2x = -\cos 2y.Mas \operatorname{cosh} 2x\ge 1 para todo x, e -\cos 2y\in[-1,1]; logo a igualdade só pode ocorrer quando \operatorname{cosh} 2x=1 e -\cos 2y=1, isto é: \operatorname{cosh} 2x=1\iff x=0,\qquad \cos 2y=-1\iff 2y=\pi+2n\pi\iff y=\frac{\pi}{2}+n\pi.Nesses pontos \operatorname{cosh} z=0 e \operatorname{tanh} z não está definida (são polos da tangente hiperbólica complexa).
  • Conclusão combinada:
    • Se y=\dfrac{k\pi}{2} com k\in\mathbb{Z}, então \sin 2y=0 e a parte imaginária é zero, desde que não aconteça a anulação do denominador. O denominador só anula quando x=0 e y=\dfrac{\pi}{2}+n\pi (casos com k ímpar e x=0).
    • Portanto, os pontos onde \operatorname{tanh} z é real são todos os z=x+iy com y=\frac{k\pi}{2}\quad(k\in\mathbb{Z}),excetuando-se os pontos onde \operatorname{cosh} z=0, isto é os pontos z=i\left(\frac{\pi}{2}+n\pi\right)\quad(n\in\mathbb{Z}),nos quais \operatorname{tanh} z não está definida.
  • Observações concretas:
    • Para y=0 (caso k par), \operatorname{tanh}(x+0i)=\operatorname{tanh} x (a função reduz ao caso real).
    • Para y=\dfrac{\pi}{2} (ou y=\dfrac{\pi}{2}+n\pi em geral), com x\neq 0, tem-se \operatorname{tanh}(x+i\pi/2)=\coth x (real). Para x=0 ocorre \operatorname{cosh} z=0 e \operatorname{tanh} não existe.

Resposta

(a) \operatorname{cosh} z e \operatorname{senh} z são inteiras.
\frac{d}{dz}\operatorname{cosh} z=\operatorname{senh} z,\qquad \frac{d}{dz}\operatorname{senh} z=\operatorname{cosh} z.
Formas u+i v para z=x+iy:
\operatorname{cosh} z=\operatorname{cosh} x\cos y + i\,\operatorname{sinh} x\sin y, \qquad \operatorname{senh} z=\operatorname{sinh} x\cos y + i\,\operatorname{cosh} x\sin y.
(b) \operatorname{tanh} z=\dfrac{\operatorname{senh} z}{\operatorname{cosh} z} e
\frac{d}{dz}\operatorname{tanh} z=\frac{1}{\operatorname{cosh}^{2} z}=\operatorname{sech}^{2} z=1-\operatorname{tanh}^{2} z.
Forma u+i v para z=x+iy:
\operatorname{tanh}(x+iy)=\frac{\operatorname{sinh} 2x}{\operatorname{cosh} 2x + \cos 2y} + i\frac{\sin 2y}{\operatorname{cosh} 2x + \cos 2y}.
\operatorname{tanh} z é real exatamente quando \sin 2y=0, isto é y=\dfrac{k\pi}{2} ( k\in\mathbb{Z}), desde que \operatorname{cosh} z\neq 0. Os pontos onde \operatorname{cosh} z=0 são z=i\left(\dfrac{\pi}{2}+n\pi\right) ( n\in\mathbb{Z}), onde \operatorname{tanh} z não está definida.

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