Determine a razão máxima em uma bacia hidrográfica na cidade de Belém PA dados:
Comprimento do talvegue = 5,5 \mathrm{~km} declividade = 0,0018 \mathrm{~m} / \mathrm{m}
Tempo de retorno = 20 anos
Área de bacia = 30000 \mathrm{~m}^{2}
Coeficiente de escoamento = 0,8

Passo 1

O enunciado pede para determinar a razão máxima (vou interpretar como a vazão máxima de pico da bacia) e fornece os seguintes dados:
  • Comprimento do talvegue: \;L=5{,}5\\ \mathrm{km}.
  • Declividade média do talvegue: \;S=0{,}0018\\ \mathrm{m}/\mathrm{m}.
  • Tempo de retorno: \;T_r=20\\ \text{anos}.
  • Área da bacia: \;A=30000\\ \mathrm{m}^2.
  • Coeficiente de escoamento (racional): \;C=0{,}8.
Pergunta principal (reformulando): determinar a vazão máxima Q_{max} correspondente ao evento pluviométrico com tempo de retorno \;T_r=20 anos, para a bacia descrita.

Passo 2

Qual método usar e por quê (sem resolver ainda):
O método clássico para estimar pico de vazão em bacias pequenas/urbanas é o Método Racional. Ele dá uma relação direta e simples entre vazão de pico, intensidade pluviométrica, área e coeficiente de escoamento:
Q = C \cdot i \cdot A,
onde:
  • \;Q é a vazão de pico (em \mathrm{m}^3/\mathrm{s} se \;i for em \mathrm{m}/\mathrm{s} e A em \mathrm{m}^2);
  • \;C é o coeficiente de escoamento (adimensional);
  • \;i é a intensidade média de chuva correspondente à duração do evento igual ao tempo de concentração da bacia e ao tempo de retorno desejado (unidade a escolher);
  • \;A é a área da bacia.
Nota importante: para aplicar o Método Racional precisamos da intensidade pluviométrica i associada a \;T_r=20\\ \text{anos} e duração igual ao tempo de concentração da bacia. Essa intensidade vem de uma curva IDF (Intensidade — Duração — Frequência) local. O enunciado não forneceu a curva IDF de Belém — portanto, a obtenção do valor numérico final de Q exige essa curva. Antes de concluir isso, calculamos o tempo de concentração da bacia (passo seguinte), porque a intensidade deve ser definida para essa duração.

Passo 3

O que é tempo de concentração e por que precisamos dele:
  • O tempo de concentração \;t_c é o tempo aproximado que um fóssil de água (gota) leva para percorrer desde o ponto mais distante da bacia até a exutória (saída).
  • No Método Racional, a intensidade i a ser usada é a intensidade de chuva com duração igual a \;t_c. Por isso precisamos calcular \;t_c.

Passo 4

Cálculo do tempo de concentração usando a fórmula de Kirpich (fórmula prática para pequenas bacias):
A forma usada aqui (muito empregada em provas e exercícios) é
t_c(\text{min}) = 0{,}01947 \; L^{0{,}77} \; S^{-0{,}385},
onde:
  • \;L está em metros;
  • \;S é a declividade média (adimensional);
  • o resultado fica em minutos.
Aplicando aos dados:
  • convertemos \;L=5{,}5\\ \mathrm{km}=5500\\ \mathrm{m};
  • S=0{,}0018.
Calculemos passo a passo (mostrando logaritmos para quem faz sem calculadora científica, mas aqui faço os passos numéricos claros):
  1. 5500^{0{,}77}. Uso logaritmo base 10 para explicar: \log_{10}(5500)=\log_{10}(5{,}5)+3\approx0{,}74036+3=3{,}74036. Multiplicando por 0{,}77 3{,}74036\cdot0{,}77\approx2{,}87908. Então 5500^{0{,}77}\approx10^{2{,}87908}\approx757{,}6.
  2. S^{-0{,}385}=(0{,}0018)^{-0{,}385}. \log_{10}(0{,}0018)=\log_{10}(1{,}8)-3\approx0{,}25527-3=-2{,}74473. Multiplicando por -0{,}385 -2{,}74473\cdot(-0{,}385)\approx1{,}05642. Assim S^{-0{,}385}\approx10^{1{,}05642}\approx11{,}39.
  3. Agora t_c(\text{min})=0{,}01947\cdot 757{,}6\cdot 11{,}39. Primeiro 757{,}6\cdot11{,}39\approx8628. Multiplicando por 0{,}01947: t_c(\text{min})\approx168{,}0\\ \text{min}.
  4. Converter para horas: t_c\approx \dfrac{168{,}0}{60}\\ \text{h}\approx2{,}8\\ \text{h}.
Interpretação: o tempo de concentração é cerca de \;t_c\approx168\\ \text{min} \; (=2{,}8\\ \text{h}). Portanto a intensidade i que precisamos é a intensidade de chuva com duração \sim2{,}8\\ \text{h} e tempo de retorno \;T_r=20 anos.

Passo 5

Aplicando o Método Racional e conversões de unidade (ensino prático):
Fórmula básica (com unidades homogêneas):
Q = C \cdot i \cdot A,
se \;i estiver em \mathrm{m}/\mathrm{s} e A em \mathrm{m}^2, então Q fica em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
No Brasil é muito comum trabalhar com \;i em \mathrm{mm}/\mathrm{h}. Então convém usar a conversão:
  • 1\\ \mathrm{mm}/\mathrm{h} = 10^{-3}\\ \mathrm{m}/3600\\ \mathrm{s} = 2{,}77778\times10^{-4}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} por mm/h sobre 1 m^2. Mas é mais prático lembrar: 1 mm/h sobre 1 hectare gera 0{,}00277778\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}. Assim existe a relação direta:
Q(\mathrm{m}^3/\mathrm{s}) = C\cdot i(\mathrm{mm/h})\cdot A(\text{ha})\cdot 0{,}00277778.
No nosso caso:
  • A=30000\\ \mathrm{m}^2 = 3{,}0\\ \text{ha}.
  • C=0{,}8.
Logo:
Q = 0{,}8\cdot i(\mathrm{mm/h})\cdot 3{,}0\cdot 0{,}00277778 = \frac{2{,}4}{360}\, i(\mathrm{mm/h}) =0{,}0066667\; i(\mathrm{mm/h}),
com Q em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Explicando: isso significa que, para obter o valor numérico de Q, basta conhecer a intensidade i correspondente a duração \;t_c\approx2{,}8\\ \text{h} e período de retorno 20 anos na curva IDF de Belém, e multiplicar por 0{,}0066667.

Passo 6

Observação final e exemplo ilustrativo (não é a resposta obrigatória da prova, apenas demonstração):
  • O enunciado não fornece a curva IDF de Belém, que é essencial para obter i para \;T_r=20 anos e duração \;t_c=2{,}8\\ \text{h}. Sem esse dado específico da pluviometria local não é possível dar um valor numérico definitivo para a vazão de pico.
  • Para ilustrar: se chegássemos a um valor de intensidade (hipotético) i=30\\ \mathrm{mm/h} para essa duração e retorno, então
Q = 0{,}0066667\cdot 30 \approx 0{,}200\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Mas repito: esse 30\\ \mathrm{mm/h} foi assumido apenas como exemplo — o valor real depende da curva IDF de Belém.

Resposta

Tempo de concentração \;t_c \approx 168\\ \text{min} = 2{,}8\\ \text{h}.
Vazão máxima (expressa em função da intensidade i em \mathrm{mm}/\mathrm{h}): \;Q_{max} = 0{,}0066667\; i\\ (\mathrm{m}^3/\mathrm{s}).
Sem a curva IDF de Belém (intensidade i para T_r=20 anos e duração \;t_c) não é possível fornecer o valor numérico final de \;Q_{max}.

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