Determine a razão do número de moléculas entre os estados rotovibracionais abaixo. Faça o cálculo para duas temperaturas ( T=30^circ C e T=-200^circ C ) e comente os resultados. A molécula de O2 vibra com uma frequência de 47,4 THz e possui energia rotacional característica de 1,78 times 10^-4 eV.
nu=0, ell=0 e nu=0, ell=1

Passo 1

Vamos comparar o número de moléculas nos dois estados usando a estatística de Boltzmann. Como ambos os estados estão no mesmo nível vibracional nu=0, a diferença de energia é puramente rotacional. Logo, para cada estado rotacional ell vale
Nellpropto gell,exp!l(-EellkBTr),
onde gell é a degenerescência e Eell é a energia rotacional do nível ell.

Passo 2

A degenerescência de um nível rotacional ell é
gell=2ell+1
Assim,
g0=1, g1=3
A diferença de energia entre ell=1 e ell=0 é
De<a E =E1-E0 =Bl[1(1+1)-0(0+1)r] =2B,
onde B=1,78times10^-4,eV é a “constante” rotacional. Portanto
De<a E =2times1,78times10^-4,eV =3,56times10^-4,eV

Passo 3

A razão de população entre ell=1 e ell=0 é
N1N0 =g1g0, exp!l(-De<a EkBTr) =3,exp!l(-3,56times10^-4,eVkBTr)
Usamos kB=8,617times10^-5,eV/K.

Passo 4

Calculamos para as duas temperaturas:
  1. T1=30^circC=303,15, K kBT1=8,617times10^-5times303,15approx0,0261,eV,
N1N0 =3exp!l(-3,56times10^-40,0261r) =3exp(-0,01364)approx3times0,98645 approx2,96
  1. T2=-200^circC=73,15, K kBT2=8,617times10^-5times73,15approx0,00630,eV,
N1N0 =3exp!l(-3,56times10^-40,00630r) =3exp(-0,0566)approx3times0,9450 approx2,84

Resposta

Para ,T=30^circC, N1N0approx2,96.
Para ,T=-200^circC, N1N0approx2,84.
Comentário: a razão fica próxima de 3 porque o nível ell=1 tem degenerescência tripla, e a diferença de energia rotacional De<a E é muito pequena comparada a kBT mesmo em -200^circC.

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