Determine a razão do número de moléculas entre os estados rotovibracionais abaixo. Faça o cálculo para duas temperaturas ( T=30^circ C e T=-200^circ C ) e comente os resultados. A molécula de O2 vibra com uma frequência de 47,4 THz e possui energia rotacional característica de 1,78 times 10^-4 eV.
nu=0, ell=0 e nu=1, ell=0

Passo 1

O enunciado pede a razão entre o número de moléculas em nu=1,ell=0 e em nu=0,ell=0 para O2 a duas temperaturas:
T1 = 30^circC = 303,15;K, T2 = -200^circC = 73,15;K
O conteúdo principal é a distribuição de Boltzmann, que exige a diferença de energia vibracional De<a E e o fator térmico kB T.

Passo 2

A diferença de energia vibracional entre nu=1 e nu=0 é
De<a E = h,nuv,
com h = 4,1357times10^-15,eVcdot s e nuv = 47,4times10^12,s^-1. Logo,
De<a E = 4,1357times10^-15times47,4times10^12,eV approx 0,196;eV

Passo 3

Como ambos os estados têm ell=0, a parte rotacional é igual e se cancela na razão. Pela estatística de Boltzmann, com degenerescências iguais,
N1,0N0,0 = exp!l(-De<a EkB Tr)

Passo 4

Para T1=303,15,K,
kB T1 = 8,617times10^-5,eVKtimes303,15,K approx 0,0261;eV,
N1,0N0,0l|303,K = exp!l(-0,196/0,0261r) approx e^-7,51 approx 5,5times10^-4

Passo 5

Para T2=73,15,K,
kB T2 = 8,617times10^-5,eVKtimes73,15,K approx 0,00630;eV,
N1,0N0,0l|73,K = exp!l(-0,196/0,00630r) approx e^-31,1 approx 3times10^-14

Passo 6

A razão cai rapidamente conforme a temperatura diminui. Em 30^circC apenas cerca de 0,055% das moléculas ocupam nu=1, e em -200^circC esse valor é praticamente zero ( sim10^-12%). Isso mostra que a população de níveis vibracionais é muito pequena a temperaturas moderadas.

Resposta

Para T=30^circC:
N1,0N0,0approx 5,5times10^-4
Para T=-200^circC:
N1,0N0,0approx 3times10^-14

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