Determine o volume da esfera inscrita no cilindro de volume
.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Dado: o volume do cilindro inscritor é
. - Pedido: determinar o volume da esfera inscrita nesse cilindro.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A esfera é inscrita no cilindro, ou seja, a esfera toca lateralmente o cilindro e também toca as duas bases do cilindro.
Passo 2
Vamos introduzir variáveis e entender geometricamente a relação entre esfera e cilindro:
- Seja
o raio da esfera. - Seja
o raio da base do cilindro e a altura do cilindro.
Explicação da posição da esfera inscrita:
- A esfera inscrita toca a base e o topo do cilindro, então a distância entre as bases do cilindro (a altura
) é igual ao diâmetro da esfera. Portanto . - A esfera toca também a superfície lateral do cilindro; o raio do cilindro é a mesma distância do eixo até a superfície lateral, que é igual ao raio da esfera. Portanto
.
Resumo das relações (tiradas da geometria de tangência):
Passo 3
Escrevendo a fórmula do volume do cilindro e substituindo as relações:
- Fórmula do volume do cilindro:
, onde é o raio da base e a altura. - Substituindo
e :
O enunciado diz que
. Então
Resolvendo para
:
Passo 4
Fórmula do volume da esfera e cálculo numérico:
- Fórmula do volume da esfera de raio
: , onde é o raio. - Substituindo o valor encontrado para
:
Agora simplificando (observe que o
cancela):
Portanto o volume da esfera é
.
Observação útil (atalho para a prova): para uma esfera justa dentro de um cilindro com
e
, nota-se que
logo
. Com
dá
. É um caminho rapidinho na prova.