Determine o volume da esfera inscrita no cilindro de volume 18 \mathrm{~cm}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dado: o volume do cilindro inscritor é 18\\ \mathrm{cm}^3.
  • Pedido: determinar o volume da esfera inscrita nesse cilindro.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A esfera é inscrita no cilindro, ou seja, a esfera toca lateralmente o cilindro e também toca as duas bases do cilindro.

Passo 2

Vamos introduzir variáveis e entender geometricamente a relação entre esfera e cilindro:
  • Seja r o raio da esfera.
  • Seja R o raio da base do cilindro e h a altura do cilindro.
Explicação da posição da esfera inscrita:
  • A esfera inscrita toca a base e o topo do cilindro, então a distância entre as bases do cilindro (a altura h) é igual ao diâmetro da esfera. Portanto h = 2r.
  • A esfera toca também a superfície lateral do cilindro; o raio do cilindro é a mesma distância do eixo até a superfície lateral, que é igual ao raio da esfera. Portanto R = r.
Resumo das relações (tiradas da geometria de tangência):
R = r,\qquad h = 2r.

Passo 3

Escrevendo a fórmula do volume do cilindro e substituindo as relações:
  • Fórmula do volume do cilindro: V_{cil} = \pi R^{2} h, onde R é o raio da base e h a altura.
  • Substituindo R=r e h=2r:
V_{cil} = \pi r^{2}\cdot (2r) = 2\pi r^{3}.
O enunciado diz que V_{cil}=18\\ \mathrm{cm}^3. Então
2\pi r^{3} = 18.
Resolvendo para r^{3}:
r^{3} = \frac{18}{2\pi} = \frac{9}{\pi}.

Passo 4

Fórmula do volume da esfera e cálculo numérico:
  • Fórmula do volume da esfera de raio r: V_{esf}=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}, onde r é o raio.
  • Substituindo o valor encontrado para r^{3}:
V_{esf} = \frac{4}{3}\pi\cdot r^{3} = \frac{4}{3}\pi\cdot\frac{9}{\pi}.
Agora simplificando (observe que o \pi cancela):
V_{esf} = \frac{4}{3}\cdot 9 = 4\cdot 3 = 12.
Portanto o volume da esfera é 12\\ \mathrm{cm}^3.
Observação útil (atalho para a prova): para uma esfera justa dentro de um cilindro com h=2r e R=r, nota-se que
\frac{V_{esf}}{V_{cil}}=\frac{\tfrac{4}{3}\pi r^{3}}{2\pi r^{3}}=\frac{2}{3},
logo V_{esf}=\tfrac{2}{3}V_{cil}. Com V_{cil}=18 V_{esf}=\tfrac{2}{3}\cdot 18=12. É um caminho rapidinho na prova.

Resposta

\,12\\ \mathrm{cm}^3

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