Determine a área de uma esfera inscrita em um cilindro de revolução cuja seção meridiana tem
de área.
Passo 1
O enunciado dá uma cilindro de revolução e diz que a sua seção meridiana (ou seja, a seção obtida por um plano que contém o eixo do cilindro) tem área
. Dentro desse cilindro está inscrita uma esfera. A pergunta é: determinar a área da superfície da esfera inscrita (unidade em
).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Área da seção meridiana do cilindro:
. - A esfera é inscrita no cilindro (a esfera toca lateralmente a superfície do cilindro e toca as bases superior e inferior).
Passo 2
Entender a seção meridiana do cilindro e relacioná-la com as dimensões do cilindro.
Uma seção meridiana do cilindro é um retângulo cujas dimensões são:
- largura igual a
, onde é o raio da base do cilindro; - altura igual a
, onde é a altura do cilindro.
Portanto a área da seção meridiana do cilindro é
Como a esfera está inscrita no cilindro, a esfera toca o cilindro lateralmente e também toca as duas bases. Dessa configuração segue que:
- o raio da esfera
é igual ao raio do cilindro: (porque a esfera toca a superfície lateral), - o diâmetro da esfera é igual à altura do cilindro:
(porque a esfera toca as duas bases opostas).
Vou explicar o porquê, de forma simples: a esfera inscrita fica “justa” dentro do cilindro; na horizontal a distância do eixo até a lateral é o mesmo que o raio da esfera; na vertical a esfera ocupa toda a altura do cilindro, de cima a baixo, logo a altura do cilindro é o diâmetro da esfera.
Passo 3
Substituir
e
na expressão da área meridiana:
O enunciado dá
. Igualando:
Isolando
e depois
:
Passo 4
Recordando a fórmula da área da superfície de uma esfera: para uma esfera de raio
,
Aqui
é a área total da superfície e
é a constante aproximadamente igual a
.
Substituímos o valor de
na fórmula:
Passo 5
Simplificamos a expressão:
Se quiser um valor aproximado,
, mas a forma exata mais elegante é
.