Determine a área de uma esfera inscrita em um cilindro de revolução cuja seção meridiana tem 225 \mathrm{~cm}^{2} de área.

Passo 1

O enunciado dá uma cilindro de revolução e diz que a sua seção meridiana (ou seja, a seção obtida por um plano que contém o eixo do cilindro) tem área \,225\\ \text{cm}^2. Dentro desse cilindro está inscrita uma esfera. A pergunta é: determinar a área da superfície da esfera inscrita (unidade em \text{cm}^2).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Área da seção meridiana do cilindro: \,225\\ \text{cm}^2.
  • A esfera é inscrita no cilindro (a esfera toca lateralmente a superfície do cilindro e toca as bases superior e inferior).

Passo 2

Entender a seção meridiana do cilindro e relacioná-la com as dimensões do cilindro.
Uma seção meridiana do cilindro é um retângulo cujas dimensões são:
  • largura igual a \,2r, onde \,r é o raio da base do cilindro;
  • altura igual a \,h, onde \,h é a altura do cilindro.
Portanto a área da seção meridiana do cilindro é
A_{\text{meridiana}} = (2r)\cdot h.
Como a esfera está inscrita no cilindro, a esfera toca o cilindro lateralmente e também toca as duas bases. Dessa configuração segue que:
  • o raio da esfera \,R é igual ao raio do cilindro: \,r=R (porque a esfera toca a superfície lateral),
  • o diâmetro da esfera é igual à altura do cilindro: \,h=2R (porque a esfera toca as duas bases opostas).
Vou explicar o porquê, de forma simples: a esfera inscrita fica “justa” dentro do cilindro; na horizontal a distância do eixo até a lateral é o mesmo que o raio da esfera; na vertical a esfera ocupa toda a altura do cilindro, de cima a baixo, logo a altura do cilindro é o diâmetro da esfera.

Passo 3

Substituir \,r=R e \,h=2R na expressão da área meridiana:
A_{\text{meridiana}} = (2r)\cdot h = (2R)\cdot(2R)=4R^{2}.
O enunciado dá \,A_{\text{meridiana}}=225\\ \text{cm}^2. Igualando:
4R^{2}=225.
Isolando \,R^{2} e depois \,R:
R^{2}=\frac{225}{4}=\frac{225}{4}, \qquad R=\sqrt{\frac{225}{4}}=\frac{\sqrt{225}}{2}=\frac{15}{2}\\ \text{cm}=7,5\\ \text{cm}.

Passo 4

Recordando a fórmula da área da superfície de uma esfera: para uma esfera de raio \,R,
S_{\text{esfera}}=4\pi R^{2}.
Aqui \,S_{\text{esfera}} é a área total da superfície e \,\pi é a constante aproximadamente igual a 3,14159.
Substituímos o valor de \,R^{2}=\dfrac{225}{4} na fórmula:
S_{\text{esfera}}=4\pi\left(\frac{225}{4}\right).

Passo 5

Simplificamos a expressão:
S_{\text{esfera}}=4\pi\cdot\frac{225}{4}=225\pi\\ \text{cm}^2.
Se quiser um valor aproximado, \,225\pi\approx 225\cdot 3{,}14159\approx 706{,}86\\ \text{cm}^2, mas a forma exata mais elegante é \,225\pi\\ \text{cm}^2.

Resposta

\,225\pi\\ \text{cm}^2

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