Determine as razões trigonométricas exatas para o ângulo cuja medida em radianos é dada.
\frac{11 \pi}{4}

Passo 1

O enunciado pede as razões trigonométricas exatas para o ângulo \frac{11\pi}{4}. O conteúdo principal aqui é usar ângulos coterminais no círculo trigonométrico para reduzir esse ângulo a uma forma mais simples, identificar o quadrante correspondente e então calcular seno, cosseno, tangente e suas funções recíprocas.

Passo 2

Para achar um ângulo coterminal de \frac{11\pi}{4}, subtraímos 2\pi (uma volta completa):
\frac{11\pi}{4} - 2\pi = \frac{11\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.
Logo, \frac{11\pi}{4} é coterminal com \frac{3\pi}{4}.

Passo 3

O ângulo \frac{3\pi}{4} está no segundo quadrante. A referência para esse ângulo é
\pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4}.
No segundo quadrante, o seno é positivo e o cosseno é negativo.

Passo 4

Calculamos as funções trigonométricas básicas usando o ângulo de referência \frac{\pi}{4} e o sinal apropriado:
\sin\bigl(\tfrac{11\pi}{4}\bigr)=\sin\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=+\frac{\sqrt{2}}{2},
\cos\bigl(\tfrac{11\pi}{4}\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=-\frac{\sqrt{2}}{2},
\tan\bigl(\tfrac{11\pi}{4}\bigr)=\frac{\sin\left(\tfrac{3\pi}{4}\right)}{\cos\left(\tfrac{3\pi}{4}\right)}=-1.

Passo 5

Agora as funções recíprocas:
\csc\bigl(\tfrac{11\pi}{4}\bigr)=\frac{1}{\sin(\tfrac{11\pi}{4})}=\frac{1}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2},
\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{11\pi}{4}\bigr)=\frac{1}{\cos(\tfrac{11\pi}{4})}=\frac{1}{-\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=-\sqrt{2},
\cot\bigl(\tfrac{11\pi}{4}\bigr)=\frac{1}{\tan(\tfrac{11\pi}{4})}=-1.

Resposta

\displaystyle \sin\bigl(\tfrac{11\pi}{4}\bigr)=\frac{\sqrt{2}}{2}, \displaystyle \cos\bigl(\tfrac{11\pi}{4}\bigr)=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \displaystyle \tan\bigl(\tfrac{11\pi}{4}\bigr)=-1, \displaystyle \csc\bigl(\tfrac{11\pi}{4}\bigr)=\sqrt{2}, \displaystyle \operatorname{sec}\bigl(\tfrac{11\pi}{4}\bigr)=-\sqrt{2}, \displaystyle \cot\bigl(\tfrac{11\pi}{4}\bigr)=-1.

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