Determine o limite.
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)}\left(\frac{x^{2} y^{3}-x^{3} y^{2}}{x^{2}-y^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite em (x,y)\to(1,1) da função
\frac{x^{2}y^{3}-x^{3}y^{2}}{x^{2}-y^{2}}.
O conteúdo é limite em duas variáveis com indeterminação do tipo 0/0 e vamos usar fatoração de polinômios para simplificar antes de avaliar o limite.

Passo 2

Verificamos a forma ao substituir diretamente (x,y)=(1,1):
\text{numerador} = 1^{2}\cdot1^{3}-1^{3}\cdot1^{2}=1-1=0, \quad \text{denominador} = 1^{2}-1^{2}=0,
logo temos indeterminação 0/0.

Passo 3

Fatoremos numerador e denominador. No numerador:
x^{2}y^{3}-x^{3}y^{2} = x^{2}y^{2}\,(y-x) = -\,x^{2}y^{2}\,(x-y).
No denominador:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).

Passo 4

Cancelamos o fator comum (x-y) (para x\neq y) e obtemos a forma simplificada
\frac{x^{2}y^{3}-x^{3}y^{2}}{x^{2}-y^{2}} = \frac{-\,x^{2}y^{2}\,(x-y)}{(x-y)(x+y)} = -\,\frac{x^{2}y^{2}}{x+y}.

Passo 5

Agora a expressão -\,\frac{x^{2}y^{2}}{x+y} é contínua em torno de (1,1), então basta substituir:
\lim_{(x,y)\to(1,1)} -\,\frac{x^{2}y^{2}}{x+y} = -\,\frac{1^{2}\cdot1^{2}}{1+1} = -\frac{1}{2}.

Resposta

-\frac{1}{2}.

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