Determine as razões trigonométricas exatas para o ângulo cuja medida em radianos é dada.
4 pi3

Passo 1

O enunciado pede as razões trigonométricas exatas do ângulo tfrac4pi3. O conteúdo aqui é a análise no círculo trigonométrico: identificar em que quadrante o ângulo está, achar seu ângulo de referência e usar as razões padrões em pi/3, ajustando o sinal conforme o quadrante.

Passo 2

Convertendo tfrac4pi3 em graus fica 4pi/3cdot180^circ/pi=240^circ. Como 240^circ está no terceiro quadrante (entre 180^circ e 270^circ), tanto o seno quanto o cosseno são negativos ali. O ângulo de referência mede
240^circ - 180^circ = 60^circ,
ou seja pi/3.

Passo 3

Sabemos que no ângulo de referência pi/3 vale
cos!l(tfracpi3r)=tfrac12, sin!l(tfracpi3r)=tfracraiz32
Como estamos no terceiro quadrante, ambos mudam de sinal:
cos!l(tfrac4pi3r)=-tfrac12, sin!l(tfrac4pi3r)=-tfracraiz32

Passo 4

A tangente é o quociente tan=sin/cos. Logo,
tan!l(tfrac4pi3r) =-tfracraiz32-tfrac12 =raiz3

Passo 5

As funções recíprocas ficam:
sec!l(tfrac4pi3r)=1cos(4pi/3)=-2, csc!l(tfrac4pi3r)=1sin(4pi/3)=-2raiz3=-2raiz33, cot!l(tfrac4pi3r)=1tan(4pi/3)=1raiz3=raiz33

Resposta

sin!l(tfrac4pi3r)=-tfracraiz32
cos!l(tfrac4pi3r)=-tfrac12
tan!l(tfrac4pi3r)=raiz3
csc!l(tfrac4pi3r)=-tfrac2raiz33
sec!l(tfrac4pi3r)=-2
cot!l(tfrac4pi3r)=tfracraiz33

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