PENSE Este problema envolve o fato de que a variação do fluxo elétrico induz um campo magnético.
FORMULE Considere uma circunferência com o centro no eixo do capacitor, de raio r>R, em que R é o raio das placas. Como não há corrente entre as placas do capacitor, a lei de Ampère-Maxwell se reduz a
\oint \vec{B} \cdot d \vec{A}=\mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{d \Phi_{E}}{d t}
em que \vec{B} é o campo magnético em pontos da circunferência, e \Phi_{E} é o fluxo do campo elétrico através da região limitada pela circunferência. Como o campo \vec{B} aponta no sentido da tangente à circunferência, e \Phi_{\mathrm{E}}=A E=\pi R^{2} E, temos
2 \pi r B=\mu_{0} \varepsilon_{0} \pi R^{2} \frac{d E}{d t}
o que nos dá
B=\frac{\mu_{0} \varepsilon_{0} R^{2}}{2 r} \frac{d E}{d t} \quad(r \geq R)
ANALISE Explicitando d E / d t, fazendo r=6,0 \mathrm{~mm}=6,0 \times 10^{-3} \mathrm{~m} e levando em conta o fato de que, a essa distância do eixo, o campo magnético induzido é B=2,0 \times 10^{-7} \mathrm{~T}, obtemos
\frac{d E}{d t}=\frac{2 B r}{\mu_{0} \varepsilon_{0} R^{2}}=\frac{2\left(2,0 \times 10^{-7} \mathrm{~T}\right)\left(6,0 \times 10^{-3} \mathrm{~m}\right)}{\left(4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~T} \cdot \mathrm{~m} / \mathrm{A}\right)\left(8,85 \times 10^{-12} \mathrm{C}^{2} / \mathrm{N} \cdot \mathrm{~m}^{2}\right)\left(3,0 \times 10^{-3} \mathrm{~m}\right)^{2}}=2,4 \times 10^{13} \frac{\mathrm{~V}}{\mathrm{~m} \cdot \mathrm{~s}}

Passo 1

O que o problema pede: determinar a taxa de variação do campo elétrico, isto é \dfrac{dE}{dt}, a partir do valor do campo magnético induzido medido numa circunferência de raio \;r=6{,}0\\ \mathrm{mm}=6{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Informações dadas:
B=2{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{T}, \quad r=6{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, \quad R=3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m},
constantes:
\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}, \quad \varepsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})}.
Observação final do enunciado que usaremos: não há corrente elétrica passando entre as placas do capacitor (logo a única contribuição no lado direito da lei de Ampère-Maxwell é o termo com \dfrac{d\Phi_{E}}{dt}).

Passo 2

Escrevendo a forma da lei de Ampère-Maxwell apropriada ao caso (linha fechada em torno do eixo do capacitor, sem corrente de condução atravessando a superfície):
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{d\Phi_{E}}{dt}.
Explicação didática: a integral do lado esquerdo é a integral de linha do campo magnético ao longo de uma curva fechada (a circunferência). O lado direito é proporcional à taxa de variação do fluxo elétrico \Phi_{E} que atravessa qualquer superfície que tenha essa curva como contorno. Aqui só entra o termo de deslocamento porque não há corrente de condução entre as placas.

Passo 3

Explique a simetria e compute cada termo:
  • Pelo enunciado, o campo \vec{B} é tangente à circunferência e, por simetria, tem módulo constante ao longo dela. Assim
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=B\oint d\ell=B(2\pi r)=2\pi r B.
  • O fluxo do campo elétrico através da região limitada pela circunferência (já que r\ge R) corresponde ao campo elétrico entre as placas, atravessando a área das placas de raio R. Logo
\Phi_{E}=E\cdot(\text{área das placas})=E(\pi R^{2}).á
Portanto
\frac{d\Phi_{E}}{dt}=\pi R^{2}\frac{dE}{dt}.

Passo 4

Substituindo na lei de Ampère-Maxwell:
2\pi r B=\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\pi R^{2}\frac{dE}{dt}.
Cancelando \pi e isolando \dfrac{dE}{dt}, obtemos a fórmula útil:
\frac{dE}{dt}=\frac{2rB}{\mu_{0}\varepsilon_{0}R^{2}}.
Explicação das variáveis nesta fórmula: \;B é o módulo do campo magnético medido em uma circunferência de raio \;r; \;R é o raio das placas (a área que realmente contribui para o fluxo elétrico); \mu_{0} e \varepsilon_{0} são constantes eletromagnéticas.

Passo 5

Vamos calcular numericamente passo a passo. Primeiro o numerador:
2rB=2\cdot(6{,}0\times10^{-3})\cdot(2{,}0\times10^{-7}) = 2{,}4\times10^{-9}.
Agora o denominador: calcule \;R^{2},
R^{2}=(3{,}0\times10^{-3})^{2}=9{,}0\times10^{-6}.
Multiplique \varepsilon_{0}R^{2}:
\varepsilon_{0}R^{2}=(8{,}85\times10^{-12})\cdot(9{,}0\times10^{-6})=7{,}965\times10^{-17}.
Multiplique por \mu_{0}:
\mu_{0}\varepsilon_{0}R^{2}=(4\pi\times10^{-7})\cdot(7{,}965\times10^{-17}) \approx 4\pi\cdot7{,}965\times10^{-24}.
Calcule o fator numérico 4\pi\cdot7{,}965. Como 4\pi\approx12{,}5664,
4\pi\cdot7{,}965\approx 12{,}5664\times7{,}965\approx 100{,}1.
Logo o denominador é aproximadamente
\mu_{0}\varepsilon_{0}R^{2}\approx 100{,}1\times10^{-24}=1{,}001\times10^{-22}.

Passo 6

Dividindo numerador pelo denominador:
\frac{dE}{dt}=\frac{2{,}4\times10^{-9}}{1{,}001\times10^{-22}} \approx 2{,}4\times10^{13}\\ \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m\cdot s}}.
Explicação de unidades: B em tesla, r e R em metros, \mu_{0}\varepsilon_{0} tem unidades que fazem com que o resultado tenha unidade de \mathrm{V\,m^{-1}\,s^{-1}}, ou seja taxa de variação do campo elétrico (volts por metro por segundo).

Passo 7

Interpretação curta e incentivo: o valor é grande numericamente, mas faz sentido porque um campo magnético pequeno e variação rápida de fluxo elétrico podem corresponder a uma mudança de campo elétrico muito intensa. Você está indo bem — siga com calma nos próximos exercícios e pratique esse tipo de manipulação com potências de dez.

Resposta

\displaystyle \frac{dE}{dt}=2{,}4\times10^{13}\\ \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m\cdot s}}

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