PENSE Este problema envolve o fato de que a variação do fluxo elétrico induz um campo magnético.
FORMULE Considere uma circunferência com o centro no eixo do capacitor, de raio
, em que
é o raio das placas. Como não há corrente entre as placas do capacitor, a lei de Ampère-Maxwell se reduz a
em que
é o campo magnético em pontos da circunferência, e
é o fluxo do campo elétrico através da região limitada pela circunferência. Como o campo
aponta no sentido da tangente à circunferência, e
, temos
o que nos dá
ANALISE Explicitando
, fazendo
e levando em conta o fato de que, a essa distância do eixo, o campo magnético induzido é
, obtemos
Passo 1
O que o problema pede: determinar a taxa de variação do campo elétrico, isto é
, a partir do valor do campo magnético induzido medido numa circunferência de raio
.
Informações dadas:
constantes:
Observação final do enunciado que usaremos: não há corrente elétrica passando entre as placas do capacitor (logo a única contribuição no lado direito da lei de Ampère-Maxwell é o termo com
).
Passo 2
Escrevendo a forma da lei de Ampère-Maxwell apropriada ao caso (linha fechada em torno do eixo do capacitor, sem corrente de condução atravessando a superfície):
Explicação didática: a integral do lado esquerdo é a integral de linha do campo magnético ao longo de uma curva fechada (a circunferência). O lado direito é proporcional à taxa de variação do fluxo elétrico
que atravessa qualquer superfície que tenha essa curva como contorno. Aqui só entra o termo de deslocamento porque não há corrente de condução entre as placas.
Passo 3
Explique a simetria e compute cada termo:
- Pelo enunciado, o campo
é tangente à circunferência e, por simetria, tem módulo constante ao longo dela. Assim
- O fluxo do campo elétrico através da região limitada pela circunferência (já que
) corresponde ao campo elétrico entre as placas, atravessando a área das placas de raio . Logo
Portanto
Passo 4
Substituindo na lei de Ampère-Maxwell:
Cancelando
e isolando
, obtemos a fórmula útil:
Explicação das variáveis nesta fórmula:
é o módulo do campo magnético medido em uma circunferência de raio
;
é o raio das placas (a área que realmente contribui para o fluxo elétrico);
e
são constantes eletromagnéticas.
Passo 5
Vamos calcular numericamente passo a passo. Primeiro o numerador:
Agora o denominador: calcule
,
Multiplique
:
Multiplique por
:
Calcule o fator numérico
. Como
,
Logo o denominador é aproximadamente
Passo 6
Dividindo numerador pelo denominador:
Explicação de unidades:
em tesla,
e
em metros,
tem unidades que fazem com que o resultado tenha unidade de
, ou seja taxa de variação do campo elétrico (volts por metro por segundo).
Passo 7
Interpretação curta e incentivo: o valor é grande numericamente, mas faz sentido porque um campo magnético pequeno e variação rápida de fluxo elétrico podem corresponder a uma mudança de campo elétrico muito intensa. Você está indo bem — siga com calma nos próximos exercícios e pratique esse tipo de manipulação com potências de dez.