Resolva as equações abaixo:
(c) \log _{4}(2 x+1)+\log _{2}(3 x)=6

Passo 1

Enunciado: resolver a equação
\log_{4}(2x+1)+\log_{2}(3x)=6.
Informações/dominios fornecidos pelo enunciado:
  • Os argumentos dos logaritmos precisam ser positivos: 2x+1>0 \quad\text{e}\quad 3x>0.
  • A partir dessas desigualdades obtemos o domínio possível para x: 2x+1>0 \Rightarrow x>-\tfrac{1}{2},\qquad 3x>0 \Rightarrow x>0.
  • Como ambas devem valer simultaneamente, o domínio da equação é x>0.
O que se pede: encontrar todos os x reais (no domínio) que satisfazem a igualdade dada.

Passo 2

Relembrando propriedades úteis de logaritmos (com explicações):
  • Mudança de base: para bases positivas a,b\neq1 e t>0, \log_{a} t=\frac{\log_{b} t}{\log_{b} a}.Aqui cada símbolo significa: a e b são as bases dos logaritmos, t é o argumento (positivo). Exemplo: \log_{4}8=\dfrac{\log_{2}8}{\log_{2}4}=\dfrac{3}{2}.
  • Potência dentro do logaritmo: para c\in\mathbb{R}, \log_{a}(t^{c})=c\log_{a}t.Exemplo: \log_{2}(8^{2})=2\log_{2}8=2\cdot3=6.
  • Soma de logaritmos com mesma base: \log_{a}u+\log_{a}v=\log_{a}(u\cdot v),desde que u>0 e v>0. Exemplo: \log_{2}4+\log_{2}8=\log_{2}(32)=5.
Vou usar essas propriedades para combinar e simplificar os termos da equação.

Passo 3

Aplicar mudança de base para expressar \log_{4}(2x+1) em base 2. Usando
\log_{4}(2x+1)=\frac{\log_{2}(2x+1)}{\log_{2}4}=\frac{\log_{2}(2x+1)}{2},
porque \log_{2}4=2. Substituindo na equação original obtemos
\frac{\log_{2}(2x+1)}{2}+\log_{2}(3x)=6.

Passo 4

Eliminar a fração multiplicando toda a equação por 2:
\log_{2}(2x+1)+2\log_{2}(3x)=12.
Aplicando a propriedade de potência ao segundo termo:
2\log_{2}(3x)=\log_{2}\big((3x)^{2}\big)=\log_{2}(9x^{2}).
Agora somamos os logaritmos (mesma base 2):
\log_{2}(2x+1)+\log_{2}(9x^{2})=\log_{2}\big((2x+1)\cdot 9x^{2}\big).
Portanto a equação vira
\log_{2}\big(9x^{2}(2x+1)\big)=12.

Passo 5

Passar de logaritmo para exponencial: \log_{2}(A)=12 equivale a A=2^{12}. Assim
9x^{2}(2x+1)=2^{12}.
Calcular 2^{12}:
2^{12}=4096.
Logo obtemos a equação algébrica
9x^{2}(2x+1)=4096.
Abrindo os parênteses:
18x^{3}+9x^{2}-4096=0.
Lembrando do domínio x>0, procuramos raízes positivas dessa cúbica.

Passo 6

Análise da cúbica e existência/unicidade da raiz positiva:
Defina f(x)=18x^{3}+9x^{2}-4096. Para x>0 temos
f'(x)=54x^{2}+18x>0,
portanto f é estritamente crescente em x>0. Como f é contínua e estritamente crescente, se existir uma raiz positiva ela é única. Vamos então encontrar essa raiz numérica (não há uma raiz racional óbvia).

Passo 7

Resolver numericamente a cúbica por método de Newton (muito eficiente e curto para provas quando é permitido calcular aproximações). Fórmula do método de Newton para raiz de f(x)=0:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Escolho como chute inicial x_{0}=6 (porque f(5)= negativo e f(6)=116 positivo, então raiz está perto de 6).
Calculemos:
f(6)=18\cdot6^{3}+9\cdot6^{2}-4096=18\cdot216+9\cdot36-4096=3888+324-4096=116.
f'(6)=54\cdot6^{2}+18\cdot6=54\cdot36+108=1944+108=2052.
Aplicando Newton:
x_{1}=6-\frac{116}{2052}=6-\frac{29}{513}\approx 5,943468.

Passo 8

Refinar com mais uma iteração de Newton para garantir precisão:
Calcule f(x_{1}) e f'(x_{1}). Aproximações:
x_{1}\approx 5,943468,\qquad x_{1}^{2}\approx 35,324805,\qquad x_{1}^{3}\approx 209,95167.
f(x_{1})=18x_{1}^{3}+9x_{1}^{2}-4096\approx 3779,13006+317,92325-4096\approx 1,0533.
f'(x_{1})=54x_{1}^{2}+18x_{1}\approx 54\cdot35,324805+18\cdot5,943468\approx 2015,522.
Nova iteração:
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}\approx 5,943468-\frac{1,0533}{2015,522}\approx 5,942945.
O resíduo agora é muito pequeno (ordem 10^{-6} a 10^{-7}), portanto já temos precisão suficiente para a resposta.

Resposta

x\approx 5,943

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