Resolva as equações abaixo:
(c)
(c)
Passo 1
Enunciado: resolver a equação
Informações/dominios fornecidos pelo enunciado:
- Os argumentos dos logaritmos precisam ser positivos:
- A partir dessas desigualdades obtemos o domínio possível para
: - Como ambas devem valer simultaneamente, o domínio da equação é
O que se pede: encontrar todos os
reais (no domínio) que satisfazem a igualdade dada.
Passo 2
Relembrando propriedades úteis de logaritmos (com explicações):
- Mudança de base: para bases positivas
e , Aqui cada símbolo significa: e são as bases dos logaritmos, é o argumento (positivo). Exemplo: . - Potência dentro do logaritmo: para
, Exemplo: . - Soma de logaritmos com mesma base:
desde que e . Exemplo: .
Vou usar essas propriedades para combinar e simplificar os termos da equação.
Passo 3
Aplicar mudança de base para expressar
em base
. Usando
porque
. Substituindo na equação original obtemos
Passo 4
Eliminar a fração multiplicando toda a equação por
:
Aplicando a propriedade de potência ao segundo termo:
Agora somamos os logaritmos (mesma base
):
Portanto a equação vira
Passo 5
Passar de logaritmo para exponencial:
equivale a
. Assim
Calcular
:
Logo obtemos a equação algébrica
Abrindo os parênteses:
Lembrando do domínio
, procuramos raízes positivas dessa cúbica.
Passo 6
Análise da cúbica e existência/unicidade da raiz positiva:
Defina . Para
temos
Defina
portanto
é estritamente crescente em
. Como
é contínua e estritamente crescente, se existir uma raiz positiva ela é única. Vamos então encontrar essa raiz numérica (não há uma raiz racional óbvia).
Passo 7
Resolver numericamente a cúbica por método de Newton (muito eficiente e curto para provas quando é permitido calcular aproximações). Fórmula do método de Newton para raiz de
:
Escolho como chute inicial
(porque
negativo e
positivo, então raiz está perto de 6).
Calculemos:
Aplicando Newton:
Passo 8
Refinar com mais uma iteração de Newton para garantir precisão:
Calcule e
. Aproximações:
Calcule
Nova iteração:
O resíduo agora é muito pequeno (ordem
a
), portanto já temos precisão suficiente para a resposta.