Resolva as equações abaixo:
(d) 10^{2 x-1}-11 cdot 10^{x-1}+1=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
10^{2x-1}-11\cdot 10^{x-1}+1=0.
Informações relevantes dadas:
  • A incógnita é x.
  • Temos potências de base 10 com expoentes que dependem de x.
  • Queremos todos os valores de x (reais) que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Observação útil (propriedade de expoentes): para qualquer número real a>0 e qualquer u,
a^{2u}= (a^{u})^{2}.
Aqui podemos usar isso para escrever 10^{2x-1} em função de 10^{x-1}. Note que
2x-1 = 2(x-1)+1,
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10^{2x-1} = 10^{2(x-1)+1} = 10^{1}\cdot 10^{2(x-1)} = 10\cdot\bigl(10^{x-1}\bigr)^{2}.
Isso sugere a substituição abaixo para transformar a equação exponencial em uma quadrática.

Passo 3

Fazemos a substituição
t = 10^{x-1}.
Como 10^{x-1}>0 para todo x, teremos t>0. Usando a expressão do passo anterior, a equação original fica
10\cdot t^{2} - 11\cdot t + 1 = 0.
Agora temos uma equação quadrática comum em t.

Passo 4

Para resolver a quadrática em t:
10t^{2}-11t+1=0,
usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Dados os coeficientes a=10, b=-11, c=1, o discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac = (-11)^{2}-4\cdot 10\cdot 1 = 121-40 = 81.
A raiz quadrada do discriminante é \sqrt{\Delta}=\sqrt{81}=9. As raízes são
t=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{11\pm 9}{20}.

Passo 5

Calculando as duas raízes explicitamente:
t_{1}=\frac{11+9}{20}=\frac{20}{20}=1,
t_{2}=\frac{11-9}{20}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}=10^{-1}.
Ambas são positivas, então ambas são admissíveis (lembre: t=10^{x-1}>0).

Passo 6

Voltando à variável x, lembramos que t=10^{x-1}. Para cada valor de t resolvemos
10^{x-1}=t.
Como a função exponencial de base 10 é injetora (ou seja, se 10^{u}=10^{v} então u=v), podemos igualar expoentes quando t é uma potência de 10. Alternativamente, usamos logaritmo na base 10. Fazendo isso para cada caso:
Caso t_{1}=1:
10^{x-1}=1=10^{0}\quad\Rightarrow\quad x-1=0\quad\Rightarrow\quad x=1.
Caso t_{2}=10^{-1}:
10^{x-1}=10^{-1}\quad\Rightarrow\quad x-1=-1\quad\Rightarrow\quad x=0.

Passo 7

Podemos fazer uma verificação rápida substituindo x=0 e x=1 na equação original:
Para x=0:
10^{2\cdot 0-1}-11\cdot 10^{0-1}+1=10^{-1}-11\cdot 10^{-1}+1=(1-11)\cdot 10^{-1}+1=-10\cdot 10^{-1}+1=-1+1=0.
Para x=1:
10^{2\cdot 1-1}-11\cdot 10^{1-1}+1=10^{1}-11\cdot 10^{0}+1=10-11\cdot 1+1=10-11+1=0.
Ambas satisfazem a equação, logo são soluções válidas.

Resposta

x=0
x=1

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