Resolva as equações abaixo:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações relevantes dadas:
- A incógnita é
. - Temos potências de base
com expoentes que dependem de . - Queremos todos os valores de
(reais) que satisfazem a igualdade.
Passo 2
Observação útil (propriedade de expoentes): para qualquer número real
e qualquer
,
Aqui podemos usar isso para escrever
em função de
. Note que
logo
Isso sugere a substituição abaixo para transformar a equação exponencial em uma quadrática.
Passo 3
Fazemos a substituição
Como
para todo
, teremos
. Usando a expressão do passo anterior, a equação original fica
Agora temos uma equação quadrática comum em
.
Passo 4
Para resolver a quadrática em
:
usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Dados os coeficientes
,
,
, o discriminante é
A raiz quadrada do discriminante é
. As raízes são
Passo 5
Calculando as duas raízes explicitamente:
Ambas são positivas, então ambas são admissíveis (lembre:
).
Passo 6
Voltando à variável
, lembramos que
. Para cada valor de
resolvemos
Como a função exponencial de base
é injetora (ou seja, se
então
), podemos igualar expoentes quando
é uma potência de
. Alternativamente, usamos logaritmo na base
. Fazendo isso para cada caso:
Caso
:
Caso
:
Passo 7
Podemos fazer uma verificação rápida substituindo
e
na equação original:
Para
:
Para
:
Ambas satisfazem a equação, logo são soluções válidas.