Sendo n inteiro, que valores pode assumir i^{n}+i^{-n} ?

Passo 1

O enunciado pergunta quais valores pode assumir
i^n + i^{-n}
quando n é inteiro. Vamos usar o fato de que as potências de i são periódicas de período 4 e que i^{-n} é o inverso (ou conjugado) de i^n.

Passo 2

Como \lvert i^n\rvert=1, temos
i^{-n} = \frac1{i^n} = \overline{i^n}.
Então
i^n + i^{-n} = i^n + \overline{i^n} = 2\,\Re(i^n).

Passo 3

Basta calcular i^n para os resíduos de n módulo 4:
\begin{aligned} n = 4k &\implies i^n = 1,\\\ n = 4k+1 &\implies i^n = i,\\\ n = 4k+2 &\implies i^n = -1,\\\ n = 4k+3 &\implies i^n = -i. \end{aligned}

Passo 4

Agora extraímos a parte real e multiplicamos por 2:
\begin{aligned} n=4k: &\quad 2\,\Re(1)=2,\\\ n=4k+1: &\quad 2\,\Re(i)=0,\\\ n=4k+2: &\quad 2\,\Re(-1)=-2,\\\ n=4k+3: &\quad 2\,\Re(-i)=0. \end{aligned}

Resposta

\{-2,\,0,\,2\}

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