Mostre que:
se z \neq 0, \overline{\left(\frac{w}{z}\right)}=\frac{\bar{w}}{\bar{z}}

Passo 1

O enunciado quer que a gente prove a propriedade de conjugação para quociente de números complexos. O que precisamos usar é que, para quaisquer complexos não nulos quando for o caso, a conjugação satisfaz
  1. \overline{ab}=\overline{a}\,\overline{b} e
  2. \overline{a^{-1}}=(\overline{a})^{-1}.

Passo 2

Como z\neq0, podemos escrever
\frac{w}{z}=w\cdot z^{-1}.
Aplicando a conjugação e usando a propriedade multiplicativa, temos
\overline{\left(\frac{w}{z}\right)} =\overline{w\cdot z^{-1}} =\overline{w}\;\overline{z^{-1}}.

Passo 3

Para identificar \overline{z^{-1}}, note que z\cdot z^{-1}=1. Conjugando ambos os lados e lembrando que \overline{1}=1 e que a conjugação é multiplicativa, obtemos
\overline{z}\,\overline{z^{-1}}=1,
ou seja, \overline{z^{-1}} é o inverso de \overline{z}. Logo
\overline{z^{-1}}=(\overline{z})^{-1}=\frac{1}{\overline{z}}.

Passo 4

Substituindo de volta em \overline{w}\;\overline{z^{-1}}, temos
\overline{\left(\frac{w}{z}\right)} =\overline{w}\;\frac{1}{\overline{z}} =\frac{\overline{w}}{\overline{z}}.

Resposta

\overline{\left(\frac{w}{z}\right)}=\frac{\overline{w}}{\overline{z}}.

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