Determine, por redução de ordem, a segunda solução das equações abaixo. 2 t^{2} \ddot{y}+3 t \dot{y}-y=0, y_{1}(t)=\sqrt{t}.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem e uma solução conhecida. Vou listar claramente o que o problema pede e o que já foi fornecido.
Equação dada:
2 t^{2}\ddot{y}+3 t\dot{y}-y=0.
Solução conhecida:
y_{1}(t)=\sqrt{t}.
O que é pedido: determinar uma segunda solução linearmente independente y_{2}(t) usando redução de ordem.
Observações úteis retiradas do enunciado: como aparece \sqrt{t} e fatores t no denominador ao colocar em forma padrão, trabalha-se naturalmente em t>0.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão \ddot{y}+P(t)\dot{y}+Q(t)y=0 facilita a aplicação da redução de ordem. Divido toda a equação por 2t^{2} (para t\neq0):
\ddot{y}+\frac{3}{2t}\dot{y}-\frac{1}{2t^{2}}y=0.
Assim podemos identificar
P(t)=\frac{3}{2t},\qquad Q(t)=-\frac{1}{2t^{2}}.
Passo 3
Método (ideia principal): procurar uma segunda solução da forma
y(t)=u(t)\,y_{1}(t),
onde u(t) é função desconhecida. A razão é que multiplicar a solução conhecida por uma função apropriada pode gerar outra solução linearmente independente; ao substituir, a equação reduz de segunda ordem para primeira ordem para u'. Agora calculo derivadas de y em termos de u e y_{1}.
Aqui C_2 é outra constante. Observação importante: a parte constante C_2 multiplica y_{1} quando formarmos y=u y_{1}, portanto corresponde apenas a uma combinação múltipla da solução conhecida y_{1} — essa parte não gera uma solução linearmente independente nova e pode ser desprezada para obter uma solução independente.
Passo 8
Escolho constantes de forma conveniente para obter uma expressão simples para a nova solução. Tomando C_2=0 (ignorar a parte que replica y_{1}) e escolhendo C_1 apropriado, por exemplo C_1=-\tfrac{3}{2}, obtemos
Como o wronskiano é não nulo em t>0, as soluções são linearmente independentes.]
Passo 10
Resumo final da construção: a segunda solução obtida por redução de ordem é y_{2}(t)=t^{-1}. Juntas, y_{1}(t)=t^{1/2} e y_{2}(t)=t^{-1} formam um conjunto de duas soluções linearmente independentes da equação dada (no intervalo t>0).