Determine, por redução de ordem, a segunda solução das equações abaixo.
2 t^{2} \ddot{y}+3 t \dot{y}-y=0, y_{1}(t)=\sqrt{t}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem e uma solução conhecida. Vou listar claramente o que o problema pede e o que já foi fornecido.
  • Equação dada:
2 t^{2}\ddot{y}+3 t\dot{y}-y=0.
  • Solução conhecida:
y_{1}(t)=\sqrt{t}.
  • O que é pedido: determinar uma segunda solução linearmente independente y_{2}(t) usando redução de ordem.
Observações úteis retiradas do enunciado: como aparece \sqrt{t} e fatores t no denominador ao colocar em forma padrão, trabalha-se naturalmente em t>0.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão \ddot{y}+P(t)\dot{y}+Q(t)y=0 facilita a aplicação da redução de ordem. Divido toda a equação por 2t^{2} (para t\neq0):
\ddot{y}+\frac{3}{2t}\dot{y}-\frac{1}{2t^{2}}y=0.
Assim podemos identificar
P(t)=\frac{3}{2t},\qquad Q(t)=-\frac{1}{2t^{2}}.

Passo 3

Método (ideia principal): procurar uma segunda solução da forma
y(t)=u(t)\,y_{1}(t),
onde u(t) é função desconhecida. A razão é que multiplicar a solução conhecida por uma função apropriada pode gerar outra solução linearmente independente; ao substituir, a equação reduz de segunda ordem para primeira ordem para u'. Agora calculo derivadas de y em termos de u e y_{1}.
Derivadas:
\dot{y}= \dot{u}\,y_{1}+u\,\dot{y}_{1},
\ddot{y}= \ddot{u}\,y_{1}+2\dot{u}\,\dot{y}_{1}+u\,\ddot{y}_{1}.

Passo 4

Substituo essas expressões na forma padrão \ddot{y}+P\dot{y}+Qy=0:
\ddot{u}\,y_{1}+2\dot{u}\,\dot{y}_{1}+u\,\ddot{y}_{1} +P\big(\dot{u}\,y_{1}+u\,\dot{y}_{1}\big) +Q\,u\,y_{1}=0.
Agrupo os termos em fatores de u, \dot{u} e \ddot{u}:
u\big(\ddot{y}_{1}+P\dot{y}_{1}+Qy_{1}\big) +\dot{u}\big(2\dot{y}_{1}+P y_{1}\big) +\ddot{u}\,y_{1}=0.
Como y_{1} é solução da equação original, o parêntese que multiplica u é zero:
\ddot{y}_{1}+P\dot{y}_{1}+Qy_{1}=0.
Portanto sobra
\ddot{u}\,y_{1}+\dot{u}\big(2\dot{y}_{1}+P y_{1}\big)=0.

Passo 5

Introduce-se w(t)=\dot{u}(t) para reduzir a ordem (agora teremos uma equação de primeira ordem para w):
\dot{w}\,y_{1}+w\big(2\dot{y}_{1}+P y_{1}\big)=0.
Coloco em forma de equação linear separável para \dfrac{\dot{w}}{w}:
\frac{\dot{w}}{w} = -\frac{2\dot{y}_{1}+P y_{1}}{y_{1}} = -\Big(2\frac{\dot{y}_{1}}{y_{1}}+P\Big).
Esta é uma equação separável: integrar \dfrac{\dot{w}}{w} dá o logaritmo de |w|.

Passo 6

Agora uso y_{1}(t)=\sqrt{t}=t^{1/2} e computo as quantidades que aparecem:
\dot{y}_{1}=\frac{1}{2}t^{-1/2},
\frac{\dot{y}_{1}}{y_{1}}=\frac{\frac{1}{2}t^{-1/2}}{t^{1/2}}=\frac{1}{2t}.
Lembro que P(t)=\dfrac{3}{2t}. Então
2\frac{\dot{y}_{1}}{y_{1}}+P = 2\cdot\frac{1}{2t}+\frac{3}{2t}=\frac{1}{t}+\frac{3}{2t}=\frac{5}{2t}.
Logo a equação para w é
\frac{\dot{w}}{w}=-\frac{5}{2t}.
Integro ambos os lados:
\ln|w|=-\frac{5}{2}\ln t + C_1,
portanto
w(t)=\dot{u}(t)=C_1\,t^{-5/2},
onde C_1 é constante arbitrária.

Passo 7

Integro w para obter u:
u(t)=\int w(t)\,dt=\int C_1\,t^{-5/2}\,dt = C_1\cdot\frac{t^{-3/2}}{-3/2}+C_2 = -\frac{2C_1}{3}\,t^{-3/2}+C_2.
Aqui C_2 é outra constante. Observação importante: a parte constante C_2 multiplica y_{1} quando formarmos y=u y_{1}, portanto corresponde apenas a uma combinação múltipla da solução conhecida y_{1} — essa parte não gera uma solução linearmente independente nova e pode ser desprezada para obter uma solução independente.

Passo 8

Escolho constantes de forma conveniente para obter uma expressão simples para a nova solução. Tomando C_2=0 (ignorar a parte que replica y_{1}) e escolhendo C_1 apropriado, por exemplo C_1=-\tfrac{3}{2}, obtemos
u(t)=t^{-3/2}.
Então a nova solução é
y_{2}(t)=u(t)\,y_{1}(t)=t^{-3/2}\cdot t^{1/2}=t^{-1}.
Observação: multiplicar y_{2} por constante qualquer ainda é solução; a forma mais simples é y_{2}(t)=t^{-1}.

Passo 9

Verifico rapidamente que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes calculando o wronskiano:
W(y_{1},y_{2})(t)= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\[4pt] \dot{y}_{1} & \dot{y}_{2} \end{vmatrix} = y_{1}\dot{y}_{2}-\dot{y}_{1}y_{2}.
Com y_{1}=t^{1/2}, y_{2}=t^{-1}, \dot{y}_{1}=\tfrac{1}{2}t^{-1/2}, \dot{y}_{2}=-t^{-2},
W = t^{1/2}(-t^{-2}) - \tfrac{1}{2}t^{-1/2}\cdot t^{-1} = -t^{-3/2} - \tfrac{1}{2}t^{-3/2} = -\tfrac{3}{2}t^{-3/2}\neq 0\\ \text{para }t>0.
Como o wronskiano é não nulo em t>0, as soluções são linearmente independentes.]

Passo 10

Resumo final da construção: a segunda solução obtida por redução de ordem é y_{2}(t)=t^{-1}. Juntas, y_{1}(t)=t^{1/2} e y_{2}(t)=t^{-1} formam um conjunto de duas soluções linearmente independentes da equação dada (no intervalo t>0).

Resposta

\displaystyle y_{2}(t)=t^{-1}

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