Determine a região de convergência das seguintes séries de potências:
x-12 x^2+13 x^3-14 x^4+ldots

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
sumn=1^infty(-1)^n-11nx^n
e pede a sua região (intervalo) de convergência. O conteúdo envolvido é séries de potências e vamos precisar do teste da razão para determinar o raio de convergência, depois verificar o comportamento nos pontos de fronteira.

Passo 2

Aplique o teste da razão na forma
L ;=;limntoinfty|an+1x^n+1anx^n|
onde an=(-1)^n-11n. Assim
|an+1x^n+1anx^n| =|(-1)^n1n+1,x^n+1(-1)^n-11n,x^n| =nn+1,|x|
e, tomando o limite,
L=limntoinftynn+1,|x| =|x|
O teste da razão diz que converge se L<1 e diverge se L>1. Portanto o raio de convergência é R=1, isto é, a série converge para lvert xrvert<1 e diverge para lvert xrvert>1.

Passo 3

Falta checar os pontos de fronteira ;x=1 e ;x=-1.
Em x=1 a série vira
sumn=1^infty(-1)^n-11n,
que é a série alternada dos recíprocos, e pelo teste de Leibniz ela converge (condicionalmente) a ln2.
Em x=-1 a série vira
sumn=1^infty(-1)^n-1(-1)^nn =-sumn=1^infty1n,
que é a série harmônica divergente.

Resposta

A região de convergência é
-1<x<= 1,
ou seja, converge absolutamente para lvert xrvert<1, converge condicionalmente em x=1 e diverge em x=-1.

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