Calcule a derivada das funções abaixo:
f(x)=e^sen(x)+(ln (x^2+1))^3

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^sen(x)+l(ln(x^2+1)r)^3
Aqui vamos usar as regras de derivação: regra da cadeia, derivada de exponencial e^u, derivada de seno e derivada de logaritmo natural, além da regra da potência.

Passo 2

Para o primeiro termo f1(x)=e^sin(x), aplicamos a regra da cadeia: se u(x)=sin(x) então
ddxe^u(x)=e^u(x),u'(x)
Como u'(x)=cos(x), fica
ddxe^sin(x)=e^sin(x)cos(x)

Passo 3

Para o segundo termo f2(x)=l(ln(x^2+1)r)^3, usamos a cadeia em duas etapas. Primeiro defina
v(x)=ln(x^2+1),
então f2(x)=l(v(x)r)^3 e
f2'(x)=3l(v(x)r)^2,v'(x)
Além disso
v'(x)=ddxln(x^2+1)=2xx^2+1
Logo
f2'(x)=3l(ln(x^2+1)r)^2cdot2xx^2+1 =6xl(ln(x^2+1)r)^2x^2+1

Passo 4

Somando as duas derivadas, obtemos
f'(x) =ddxe^sin(x) +ddxl(ln(x^2+1)r)^3 =e^sin(x)cos(x) +6xl(ln(x^2+1)r)^2x^2+1

Resposta

f'(x)=e^sin(x)cos(x) +6xl(ln(x^2+1)r)^2x^2+1

Exercícios relacionados