Calcule a derivada das funções abaixo:
f(x)=e^-5 x+ln (x^2+3 x+9)

Passo 1

A gente quer achar a derivada de
f(x) = e^-5x + lnl(x^2 + 3x + 9r)
O conteúdo principal é usar a regra da cadeia para a parte exponencial e^u(x) e a regra do logaritmo natural ln(u(x)).

Passo 2

Vamos derivar a primeira parcela e^-5x. Seja u(x) = -5x. Pela regra da cadeia:
ddxe^u(x) = e^u(x)cdot u'(x)
Aqui u'(x) = -5, então
ddxe^-5x = e^-5xcdot(-5) = -5e^-5x

Passo 3

Agora derivamos lnl(x^2+3x+9r). Definimos g(x) = x^2+3x+9, cuja derivada é
g'(x) = 2x + 3
Pela regra do logaritmo natural:
ddxlnl(g(x)r) = g'(x)g(x) = 2x+3x^2+3x+9

Passo 4

Como a derivada de soma é a soma das derivadas, juntamos os resultados:
f'(x) = -5e^-5x + 2x+3x^2+3x+9

Resposta

f'(x) = -5e^-5x + 2x+3x^2+3x+9

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