Determine a região de convergência das seguintes séries de potências:
Passo 1
O enunciado pede pra gente encontrar a região de convergência da série de potências centrada em 2:
O conteúdo é convergência de séries de potências e vamos usar o teste da raiz (ou da razão) para achar o raio de convergência.
Passo 2
Para aplicar o teste da raiz, considere o termo geral
Temos
A raiz n-ésima de
é
Pela condição do teste da raiz, converge se
|x-2|3<1 , ou seja
Passo 3
Isso nos dá o raio de convergência
R=3 . Agora vamos checar os extremos do intervalo real.
Passo 4
No extremo
x=2+3=5 a série vira
O termo geral
(-1)^n n não tende a zero, logo a série diverge.
Passo 5
No extremo
x=2-3=-1 a série fica
pois
(-1)^n(-1)^n=1 . De novo, o termo geral não tende a zero, então diverge.
Resposta
A região de convergência é dada por
|x-2|<3 , ou, em termos de intervalo real,
-1,5 .