Determine a região de convergência das seguintes séries de potências:
sumn=1^infty (-1)^n n(x-2)^n3^n

Passo 1

O enunciado pede pra gente encontrar a região de convergência da série de potências centrada em 2:
sumn=1^infty (-1)^n n (x-2)^n3^n
O conteúdo é convergência de séries de potências e vamos usar o teste da raiz (ou da razão) para achar o raio de convergência.

Passo 2

Para aplicar o teste da raiz, considere o termo geral
an = (-1)^n n (x-2)^n3^n
Temos
|an| = n |x-2|^n3^n
A raiz n-ésima de |an| é
raiz[n]|an| = raiz[n]n ;|x-2|3 xrightarrow[ntoinfty] 1cdot|x-2|3 = |x-2|3
Pela condição do teste da raiz, converge se |x-2|3<1, ou seja
|x-2|<3

Passo 3

Isso nos dá o raio de convergência R=3. Agora vamos checar os extremos do intervalo real.

Passo 4

No extremo x=2+3=5 a série vira
sumn=1^infty (-1)^n n 3^n3^n = sumn=1^infty (-1)^n n
O termo geral (-1)^n n não tende a zero, logo a série diverge.

Passo 5

No extremo x=2-3=-1 a série fica
sumn=1^infty (-1)^n n (-3)^n3^n = sumn=1^infty n,
pois (-1)^n(-1)^n=1. De novo, o termo geral não tende a zero, então diverge.

Resposta

A região de convergência é dada por |x-2|<3, ou, em termos de intervalo real, -1,5.

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