Determine uma representação em série de potências para a função f(x)=11+x^7 e calcule integral0^0,5 11+x^7 d x com precisão de 10^-7.

Passo 1

O enunciado pede a representação em série de potências da função f(x)=11+x^7 e, a partir dela, calcular integral0^0,5f(x),dx com erro menor que 10^-7. Vamos usar série geométrica, integração termo a termo e estimar o resto para garantir a precisão.

Passo 2

Lembrando que, para |z|<1, temos a série geométrica
11+z=sumn=0^infty(-1)^nz^n
Aqui basta tomar z=x^7. Como em [0,0,5] temos |x^7|<=0,5^7<1, podemos escrever
f(x)=11+x^7=sumn=0^infty(-1)^n x^7n

Passo 3

Podemos então integrar termo a termo no intervalo [0,0,5], pois a série converge uniformemente em qualquer intervalo fechado contido em (-1,1). O termo geral da integral é
integral0^0,5x^7n,dx=(0,5)^7n+17n+1
Logo
integral0^0,511+x^7,dx=sumn=0^infty(-1)^n(0,5)^7n+17n+1

Passo 4

Para garantir erro menor que 10^-7, usamos o fato de que o resto após N termos é limitado pelo próximo termo:
|RN|<=(0,5)^7(N+1)+17(N+1)+1
Testando N=3, o termo de índice 4 é
(0,5)^2929approx6,44times10^-9<10^-7
Portanto basta somar até n=3.

Passo 5

Agora calculamos os quatro primeiros termos:
T0=(0,5)^11=0,5, T1=-(0,5)^88=-0,00048828125, T2=(0,5)^1515approx0,0000020345052, T3=-(0,5)^2222approx-0,0000000108301
Somando:
0,5-0,00048828125+0,0000020345052-0,0000000108301approx0,4995137424

Passo 6

Com erro máximo <6,44times10^-9 abaixo de 10^-7, a aproximação final, arredondada a 7 casas decimais, é: 0,4995137.

Resposta

0,4995137

Exercícios relacionados