Determine uma representação em série de potências para a função
e calcule
com precisão de
.
Passo 1
O enunciado pede a representação em série de potências da função
e, a partir dela, calcular
com erro menor que
. Vamos usar série geométrica, integração termo a termo e estimar o resto para garantir a precisão.
Passo 2
Lembrando que, para
, temos a série geométrica
Aqui basta tomar
. Como em
temos
, podemos escrever
Passo 3
Podemos então integrar termo a termo no intervalo
, pois a série converge uniformemente em qualquer intervalo fechado contido em
. O termo geral da integral é
Logo
Passo 4
Para garantir erro menor que
, usamos o fato de que o resto após
termos é limitado pelo próximo termo:
Testando
, o termo de índice
é
Portanto basta somar até
.
Passo 5
Agora calculamos os quatro primeiros termos:
Somando:
Passo 6
Com erro máximo
abaixo de
, a aproximação final, arredondada a 7 casas decimais, é: 0,4995137.
Resposta
0,4995137