Encontre a série de MacLaurin para
e
.
Passo 1
Neste exercício queremos encontrar as séries de Maclaurin para as funções f(x)=sen(x) e g(x)=cos(x). A série de Maclaurin é a expansão de Taylor em torno de x=0 e vamos precisar das derivadas de cada função avaliadas em 0.
Passo 2
Relembre a definição geral de série de Maclaurin:
Passo 3
Começamos com f(x)=sen(x). Calculamos as derivadas e seus valores em 0:
- f(0)=sen(0)=0
- f’(x)=cos(x) ⇒ f’(0)=1
- f’’(x)=-sen(x) ⇒ f’’(0)=0
- f’’’(x)=-cos(x) ⇒ f’’’(0)=-1
- f⁽⁴⁾(x)=sen(x) ⇒ f⁽⁴⁾(0)=0
Notamos que só aparecem termos não nulos para as derivadas de ordem ímpar, com sinais alternados. Daqui surg e o padrão:
Passo 4
Agora para g(x)=cos(x). Calculamos as derivadas e valores em 0:
- g(0)=cos(0)=1
- g’(x)=-sen(x) ⇒ g’(0)=0
- g’’(x)=-cos(x) ⇒ g’’(0)=-1
- g’’’(x)=sen(x) ⇒ g’’’(0)=0
- g⁽⁴⁾(x)=cos(x) ⇒ g⁽⁴⁾(0)=1
Apenas termos de ordem par sobrevivem, também com sinais alternados. Isso leva a:
Resposta
[\sin(x) = \sum_{k=0}{\infty}(-1)k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!},
\cos(x) = \sum_{k=0}{\infty}(-1)k \frac{x^{2k}}{(2k)!}]
\cos(x) = \sum_{k=0}{\infty}(-1)k \frac{x^{2k}}{(2k)!}]