Encontre a série de MacLaurin para f(x)=sen(x) e g(x)=cos (x).

Passo 1

Neste exercício queremos encontrar as séries de Maclaurin para as funções f(x)=sen(x) e g(x)=cos(x). A série de Maclaurin é a expansão de Taylor em torno de x=0 e vamos precisar das derivadas de cada função avaliadas em 0.

Passo 2

Relembre a definição geral de série de Maclaurin:
f(x)=sumn=0^infty f^(n)(0)n!,x^n

Passo 3

Começamos com f(x)=sen(x). Calculamos as derivadas e seus valores em 0:
  • f(0)=sen(0)=0
  • f’(x)=cos(x) ⇒ f’(0)=1
  • f’’(x)=-sen(x) ⇒ f’’(0)=0
  • f’’’(x)=-cos(x) ⇒ f’’’(0)=-1
  • f⁽⁴⁾(x)=sen(x) ⇒ f⁽⁴⁾(0)=0
    Notamos que só aparecem termos não nulos para as derivadas de ordem ímpar, com sinais alternados. Daqui surg e o padrão:
sen(x)=sumk=0^infty(-1)^kx^2k+1(2k+1)!

Passo 4

Agora para g(x)=cos(x). Calculamos as derivadas e valores em 0:
  • g(0)=cos(0)=1
  • g’(x)=-sen(x) ⇒ g’(0)=0
  • g’’(x)=-cos(x) ⇒ g’’(0)=-1
  • g’’’(x)=sen(x) ⇒ g’’’(0)=0
  • g⁽⁴⁾(x)=cos(x) ⇒ g⁽⁴⁾(0)=1
    Apenas termos de ordem par sobrevivem, também com sinais alternados. Isso leva a:
cos(x)=sumk=0^infty(-1)^kx^2k(2k)!

Resposta

[\sin(x) = \sum_{k=0}{\infty}(-1)k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!},
\cos(x) = \sum_{k=0}{\infty}(-1)k \frac{x^{2k}}{(2k)!}]

Exercícios relacionados