Determine a região de convergência das seguintes séries de potências:
Passo 1
O enunciado pede a região de convergência da série de potências centrada em
:
Para isso vamos usar o teste da raiz (ou da razão) para achar o raio de convergência e, em seguida, examinar o comportamento nos pontos de fronteira.
Passo 2
Aplicando o teste da raiz, analisamos
Como para uma série
sum an (x+1)^n o raio de convergência
R satisfaz
segue que
Passo 3
Do teste da raiz concluímos que a série converge absolutamente se
e diverge quando
Passo 4
Nos pontos de fronteira temos
x+1=pm2 :
- Para
(ou sejax+1=2 ), a série virax=1 que converge absolutamente, poissumn=1^infty(-1)^n2^n2^nn^2 =sumn=1^infty(-1)^nn^2, converge.sum1/n^2 - Para
(ou sejax+1=-2 ), a série ficax=-3 que também converge.sumn=1^infty(-1)^n(-2)^n2^nn^2 =sumn=1^infty1n^2,
Resposta
A região de convergência real é
ou, de forma mais geral no plano complexo, o disco