Determine a região de convergência das seguintes séries de potências:
sumn=1^infty (-1)^n(x+1)^n2^n n^2

Passo 1

O enunciado pede a região de convergência da série de potências centrada em -1:
sumn=1^infty(-1)^n(x+1)^n2^nn^2
Para isso vamos usar o teste da raiz (ou da razão) para achar o raio de convergência e, em seguida, examinar o comportamento nos pontos de fronteira.

Passo 2

Aplicando o teste da raiz, analisamos
limntoinftyraiz[n]|(-1)^n2^nn^2| =limntoinfty12,n^2/n =12
Como para uma série sum an (x+1)^n o raio de convergência R satisfaz
1R=limsupntoinftyraiz[n]|an|,
segue que
R=2

Passo 3

Do teste da raiz concluímos que a série converge absolutamente se
|x+1|<2
e diverge quando
|x+1|>2

Passo 4

Nos pontos de fronteira temos x+1=pm2:
  1. Para x+1=2 (ou seja x=1), a série vira sumn=1^infty(-1)^n2^n2^nn^2 =sumn=1^infty(-1)^nn^2, que converge absolutamente, pois sum1/n^2 converge.
  2. Para x+1=-2 (ou seja x=-3), a série fica sumn=1^infty(-1)^n(-2)^n2^nn^2 =sumn=1^infty1n^2, que também converge.

Resposta

A região de convergência real é
-3<= x<=1,
ou, de forma mais geral no plano complexo, o disco
|x+1|<=2

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