Verifique se as seguintes séries são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
ou seja, é uma série alternante cujo termo geral em módulo é
Vamos verificar primeiro se ela é absolutamente convergente (usando p-séries) e depois, se não o for, aplicar o teste de Leibniz para ver se é condicionalmente convergente.
Passo 2
Teste de convergência absoluta. Consideramos
Isto é uma p-série de expoente p=tfrac34<1. Sabemos que toda p-série com p<=1 diverge. Portanto a série dada não é absolutamente convergente.
Passo 3
Teste de convergência condicional pelo critério de Leibniz. Para aplicar, verificamos que para
an=1(n+1)^3/4
an>0 para todo n.
an+1=1(n+2)^3/4<1(n+1)^3/4=an, ou seja, (an) é decrescente.
limntoinftyan=limntoinfty1(n+1)^3/4=0.
Como essas três condições do teste de Leibniz são satisfeitas, concluímos que a série alternante converge.