Verifique se as seguintes séries são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n-1 1(n+1)^3 / 4

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n-11(n+1)^3/4
ou seja, é uma série alternante cujo termo geral em módulo é
an=1(n+1)^3/4
Vamos verificar primeiro se ela é absolutamente convergente (usando p-séries) e depois, se não o for, aplicar o teste de Leibniz para ver se é condicionalmente convergente.

Passo 2

Teste de convergência absoluta. Consideramos
sumn=1^inftygllvert(-1)^n-11(n+1)^3/4grrvert =sumn=1^infty1(n+1)^3/4
Isto é uma p-série de expoente p=tfrac34<1. Sabemos que toda p-série com p<=1 diverge. Portanto a série dada não é absolutamente convergente.

Passo 3

Teste de convergência condicional pelo critério de Leibniz. Para aplicar, verificamos que para
an=1(n+1)^3/4
  1. an>0 para todo n.
  2. an+1=1(n+2)^3/4<1(n+1)^3/4=an, ou seja, (an) é decrescente.
  3. limntoinftyan=limntoinfty1(n+1)^3/4=0.
Como essas três condições do teste de Leibniz são satisfeitas, concluímos que a série alternante converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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