Determine a região de convergência das seguintes séries de potências:
sumn=1^infty (-2)^n(x-4)^nraizn+2

Passo 1

O enunciado dá a série de potências centrada em x0=4:
sumn=1^infty(-2)^nraizn+2,(x-4)^n
Queremos a região de convergência (intervalo de x) dessa série. Para isso vamos usar o teste da raiz para achar o raio de convergência e depois verificar o comportamento nos pontos extremos.

Passo 2

Aplicando o teste da raiz, consideramos
L ;=;limsupntoinftygl|(-2)^nraizn+2,(x-4)^ngr|^1/n =limsupntoinfty2,|x-4|(n+2)^1/(2n)
Como limntoinfty(n+2)^1/(2n)=1, obtemos
L=2,|x-4|
A condição de convergência é L<1, ou seja
2,|x-4|<1 Longrightarrow |x-4|<tfrac12
Logo o raio de convergência é R=tfrac12.

Passo 3

Agora testamos o extremo x=4+tfrac12=4,5. Neste caso
x-4=tfrac12 Longrightarrow an=(!-2)^nl(tfrac12r)^n/raizn+2 =(-1)^nraizn+2
A série torna-se
sumn=1^infty(-1)^nraizn+2,
que é alternante com termos 1/raizn+2 decrescentes a zero. Pelo teste de Leibniz, essa série converge condicionalmente em x=4,5.

Passo 4

Testamos o outro extremo x=4-tfrac12=3,5. Aqui
x-4=-tfrac12 Longrightarrow an=(!-2)^nl(-tfrac12r)^n/raizn+2 =1raizn+2
Fica a série
sumn=1^infty1raizn+2,
que é equivalente a sum n^-1/2, um p-série com p=tfrac12<1. Portanto diverge em x=3,5.

Resposta

A série converge para
|x-4|<tfrac12
e converge também condicionalmente em x=4,5. Diverge em x=3,5.
Em notação de intervalo:
(3,5,,4,5],

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