Utilize os testes de convergência para determinar se as séries são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício que pede pra gente usar os testes de convergência para descobrir se a série
converge ou diverge. A matéria aqui é Cálculo de Séries, e vamos precisar conhecer alguns testes de convergência, como o teste da divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite dos termos da série, quando n vai pra infinito, não for zero, então a série diverge. Ou seja, se
, a série não soma pra nada finito.
Passo 3
Vamos aplicar isso na nossa série. Aqui, o termo geral é
. Então, precisamos calcular o limite:
Passo 4
A gente sabe que, quando n cresce, tanto o numerador quanto o denominador aumentam, mas a velocidade de crescimento do numerador é muito maior. Especificamente,
cresce mais rápido que
.
Passo 5
Então, esse limite vai pra infinito:
Passo 6
Como o limite dos termos não é zero (na verdade, é infinito), segundo o Teste da Divergência, a série diverge.
Resposta
A série
diverge.