Utilize os testes de convergência para determinar se as séries são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty nln (n)

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício que pede pra gente usar os testes de convergência para descobrir se a série sumn=1^infty nln (n) converge ou diverge. A matéria aqui é Cálculo de Séries, e vamos precisar conhecer alguns testes de convergência, como o teste da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite dos termos da série, quando n vai pra infinito, não for zero, então a série diverge. Ou seja, se limn to infty an neq 0, a série não soma pra nada finito.

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa série. Aqui, o termo geral é an = nln(n). Então, precisamos calcular o limite:
limn to infty nln(n)

Passo 4

A gente sabe que, quando n cresce, tanto o numerador quanto o denominador aumentam, mas a velocidade de crescimento do numerador é muito maior. Especificamente, n cresce mais rápido que ln(n).

Passo 5

Então, esse limite vai pra infinito:
limn to infty nln(n) = infty

Passo 6

Como o limite dos termos não é zero (na verdade, é infinito), segundo o Teste da Divergência, a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty nln (n) diverge.

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