Utilize os testes de convergência para determinar se as séries são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty 12^n-1

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se a série sumn=1^infty 12^n-1 converge ou diverge. Vamos usar os testes de convergência, que são parte da matéria de Cálculo sobre séries infinitas. Para resolver isso, vamos precisar comparar essa série com outra que a gente já conhece se ela converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada geral na série sumn=1^infty 12^n-1. Observe que, conforme n cresce, 2^n fica bem grande, então 2^n - 1 é quase igual a 2^n. Isso nos dá uma ideia de que 12^n-1 se comporta de forma semelhante a 12^n.

Passo 3

Sabemos que a série geométrica sumn=1^infty 12^n é convergente, porque ela tem uma razão r = 12, que é menor que 1. Vamos usar o Teste de Comparação aqui. Se conseguirmos mostrar que 12^n-1 <= 12^n-1 para todo n grande o suficiente, então nossa série original também converge.

Passo 4

Vamos comparar os termos:
12^n-1 <= 12^n-1
Isso é verdade porque 2^n-1 >= 2^n-1 para todo n >= 1. Assim, cada termo da nossa série é menor ou igual ao termo correspondente da série geométrica convergente.

Resposta

A série sumn=1^infty 12^n-1 é convergente.

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