Utilize os testes de convergência para determinar se as séries são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Então, a gente tem que verificar se a série
converge ou diverge. Vamos usar os testes de convergência, que são parte da matéria de Cálculo sobre séries infinitas. Para resolver isso, vamos precisar comparar essa série com outra que a gente já conhece se ela converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada geral na série
. Observe que, conforme
cresce,
fica bem grande, então
é quase igual a
. Isso nos dá uma ideia de que
se comporta de forma semelhante a
.
Passo 3
Sabemos que a série geométrica
é convergente, porque ela tem uma razão
, que é menor que 1. Vamos usar o Teste de Comparação aqui. Se conseguirmos mostrar que
para todo
grande o suficiente, então nossa série original também converge.
Passo 4
Vamos comparar os termos:
Isso é verdade porque
para todo
. Assim, cada termo da nossa série é menor ou igual ao termo correspondente da série geométrica convergente.
Resposta
A série
é convergente.