Determine a região no qual a função
é contínua.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para achar a região onde
é contínua; o conteúdo é continuidade de função de duas variáveis definida por partes.
Passo 2
Para
, temos que
é quociente de polinômios com denominador
. Como polinômios são contínuos e o denominador nunca se anula fora da origem, segue que
é contínua em
.
Passo 3
No ponto
, devemos verificar se
é igual a
. Se sim, então
é contínua em
.
Passo 4
Para calcular o limite, use coordenadas polares:
,
. Substituindo,
Como
e
implica
, concluímos
Portanto o limite coincide com
.
Resposta
A função é contínua em todo o plano
.