Determine a região no qual a função
f(x, y)=l x^2 yx^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0 se (x, y)=(0,0)
é contínua.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=x^2yx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
e pede para achar a região onde f é contínua; o conteúdo é continuidade de função de duas variáveis definida por partes.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), temos que f(x,y) é quociente de polinômios com denominador x^2+y^2neq0. Como polinômios são contínuos e o denominador nunca se anula fora da origem, segue que f é contínua em R^2setminus(0,0).

Passo 3

No ponto (0,0), devemos verificar se
lim(x,y)to(0,0)x^2yx^2+y^2
é igual a f(0,0)=0. Se sim, então f é contínua em (0,0).

Passo 4

Para calcular o limite, use coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta. Substituindo,
f(r,theta)=r^2cos^2theta,(rsintheta)r^2=rcos^2thetasintheta
Como
|f(r,theta)|<= r,|cos^2thetasintheta|<= r,
e rto0 implica rto0, concluímos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0
Portanto o limite coincide com f(0,0).

Resposta

A função é contínua em todo o plano R^2.

Exercícios relacionados