Determine a região de integração e troque a ordem de integração da seguinte integral:
Passo 1
Temos a integral
que integra sobre a região R definida por
0≤y≤2,
-√(4−y²)≤x≤2−y.
O conteúdo é mudança de ordem de integração em integrais duplas e vamos precisar identificar bem essa região.
0≤y≤2,
-√(4−y²)≤x≤2−y.
O conteúdo é mudança de ordem de integração em integrais duplas e vamos precisar identificar bem essa região.
Passo 2
Para entender R, note que x≥-√(4−y²) é o interior esquerdo do círculo x²+y²≤4 (acima do eixo y) e x≤2−y é a região abaixo da reta y=2−x. Assim R é a parte do semicírculo de raio 2 acima do eixo x e que fica à esquerda da reta y=2−x.
Passo 3
Para trocar a ordem, determinamos o intervalo total de x em R. Como -√(4−y²) varia de -2 (em y=0) até 0 (em y=2), e a reta x=2−y varia de 2 (em y=0) até 0 (em y=2), o x mínimo em R é -2 e o máximo é 2. Então x∈[-2,2].
Passo 4
Agora, para cada x fixo, y deve satisfazer 0≤y≤min(√(4−x²),2−x). Como as curvas √(4−x²) e 2−x se cruzam em x=0 e x=2, dividimos em dois trechos:
- Para -2≤x≤0, tem 2−x≥2 e √(4−x²)≤2, logo y∈[0,√(4−x²)].
- Para 0≤x≤2, tem √(4−x²)≥2−x, logo y∈[0,2−x].
Passo 5
Montando a integral com ordem trocada, obtemos