Determine a região de integração e troque a ordem de integração da seguinte integral:
integral0^2 integral-raiz4-y^2^2-y f(x, y) d x d y

Passo 1

Temos a integral
integral0^2integral-raiz4-y^2^2-yf(x,y),dx,dy
que integra sobre a região R definida por
0≤y≤2,
-√(4−y²)≤x≤2−y.
O conteúdo é mudança de ordem de integração em integrais duplas e vamos precisar identificar bem essa região.

Passo 2

Para entender R, note que x≥-√(4−y²) é o interior esquerdo do círculo x²+y²≤4 (acima do eixo y) e x≤2−y é a região abaixo da reta y=2−x. Assim R é a parte do semicírculo de raio 2 acima do eixo x e que fica à esquerda da reta y=2−x.

Passo 3

Para trocar a ordem, determinamos o intervalo total de x em R. Como -√(4−y²) varia de -2 (em y=0) até 0 (em y=2), e a reta x=2−y varia de 2 (em y=0) até 0 (em y=2), o x mínimo em R é -2 e o máximo é 2. Então x∈[-2,2].

Passo 4

Agora, para cada x fixo, y deve satisfazer 0≤y≤min(√(4−x²),2−x). Como as curvas √(4−x²) e 2−x se cruzam em x=0 e x=2, dividimos em dois trechos:
  • Para -2≤x≤0, tem 2−x≥2 e √(4−x²)≤2, logo y∈[0,√(4−x²)].
  • Para 0≤x≤2, tem √(4−x²)≥2−x, logo y∈[0,2−x].

Passo 5

Montando a integral com ordem trocada, obtemos
integral-2^0integral0^raiz4 - x^2f(x,y),dy,dx +integral0^2integral0^2 - xf(x,y),dy,dx

Resposta

integral-2^0integral0^raiz4 - x^2f(x,y),dy,dx+integral0^2integral0^2 - xf(x,y),dy,dx

Exercícios relacionados