Determine a região de integração e troque a ordem de integração da seguinte integral:
integral0^1 integralx^2^raizx f(x, y) d y d x

Passo 1

O objetivo é descrever a região R em que 0≤x≤1 e x²≤y≤√x e depois trocar a ordem de integração na integral ∬_R f(x,y) dA.

Passo 2

A região R no plano xy é dada por
R = (x,y)mid 0 <= x <= 1,; x^2 <= y <= raizx

Passo 3

Para trocar a ordem, projetamos R no eixo y. Primeiro identificamos o menor e o maior valor de y em R. Como x varia de 0 a 1, x² varia de 0 a 1 e √x varia de 0 a 1. Logo
0 <= y <= 1

Passo 4

Para um y fixo em [0,1], x deve satisfazer simultaneamente x² ≤ y e y ≤ √x. Da primeira vem
x <= raizy,
e da segunda
x >= y^2

Passo 5

Portanto, para cada y ∈ [0,1], x varia de y² até √y. Assim a integral com ordem invertida fica
integraly=0^1 integralx=y^2^raizy f(x,y),dx,dy

Resposta

A região de integração é R = { (x,y) | 0 ≤ x ≤ 1, x² ≤ y ≤ √x } e, trocando a ordem, a integral passa a ser
integral0^1 integraly^2^raizy f(x,y),dx,dy

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