Determine a região de integração e troque a ordem de integração da seguinte integral:
Passo 1
O objetivo é descrever a região R em que 0≤x≤1 e x²≤y≤√x e depois trocar a ordem de integração na integral ∬_R f(x,y) dA.
Passo 2
A região R no plano xy é dada por
Passo 3
Para trocar a ordem, projetamos R no eixo y. Primeiro identificamos o menor e o maior valor de y em R. Como x varia de 0 a 1, x² varia de 0 a 1 e √x varia de 0 a 1. Logo
Passo 4
Para um y fixo em [0,1], x deve satisfazer simultaneamente x² ≤ y e y ≤ √x. Da primeira vem
e da segunda
Passo 5
Portanto, para cada y ∈ [0,1], x varia de y² até √y. Assim a integral com ordem invertida fica
Resposta
A região de integração é R = { (x,y) | 0 ≤ x ≤ 1, x² ≤ y ≤ √x } e, trocando a ordem, a integral passa a ser