Determine a região de integração e troque a ordem de integração da seguinte integral:
Passo 1
O enunciado pede para identificar a região D do plano dada por 0 ≤ x ≤ 1 e 2x ≤ y ≤ x+1, e então escrever a mesma integral trocando a ordem de integração. O conteúdo envolve integrais duplas e mudança de ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, descrevemos a região D em termos de desigualdades. Temos 0 ≤ x ≤ 1 e para cada x o y varia entre as retas y = 2x (limite inferior) e y = x + 1 (limite superior). Assim,
Passo 3
Para trocar a ordem, projetamos D sobre o eixo y. Observamos que, ao variar x de 0 a 1, o menor valor de y ocorre em (x=0, y=2x=0) e o maior em (x=1, y=x+1=2). Logo y varia de 0 até 2.
Passo 4
Precisamos agora, para cada y em [0,2], achar o intervalo de x que satisfaz 2x ≤ y ≤ x+1. Para 0 ≤ y ≤ 1 a condição y ≤ x+1 é sempre verdadeira se x ≥ 0, então fica só 2x ≤ y ⇒ x ≤ y/2, junto com x ≥ 0.
Para 1 ≤ y ≤ 2 a desigualdade y ≤ x+1 impõe x ≥ y−1, e 2x ≤ y continua impondo x ≤ y/2. Além disso x ≤ 1 e x ≥ 0 ficam garantidos pelos valores de y neste intervalo.
Para 1 ≤ y ≤ 2 a desigualdade y ≤ x+1 impõe x ≥ y−1, e 2x ≤ y continua impondo x ≤ y/2. Além disso x ≤ 1 e x ≥ 0 ficam garantidos pelos valores de y neste intervalo.
Passo 5
Portanto, ao trocar a ordem, dividimos em dois subintervalos de y:
x varia de 0 até
.
x varia de
até
.