Seja f uma função dada por f(x, y)=rllx y^2x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 0, & se & (x, y)=(0,0).
(a) Verifique que f é contínua em ( 0,0 ), mas não é diferenciável em ( 0,0 ).
(b) As derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y são contínuas em (0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx,y^2x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede:
  • (a) mostrar que f é contínua em (0,0) mas não é diferenciável aí;
  • (b) verificar se as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y são contínuas em (0,0).
Os tópicos principais são limites em duas variáveis, diferenciabilidade via definição e continuidade de derivadas parciais.]

Passo 2

Para ver a continuidade em (0,0) calculamos
l|f(x,y)r| =|x|,y^2x^2+y^2 <=|x|,(x^2+y^2)x^2+y^2 =|x|
Como (x,y)to(0,0) implica |x|to0, segue l|f(x,y)r|to0=f(0,0). Logo f é contínua em (0,0).

Passo 3

Para testar diferenciabilidade em (0,0), supomos a aproximação linear L(x,y)=0. Então o resto é
R(x,y)=f(x,y)-L(x,y)=f(x,y)
Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta temos
f(rcostheta,rsintheta) =(rcostheta),(rsintheta)^2r^2 =rcostheta,sin^2theta
Logo
R(x,y)raizx^2+y^2 =rcostheta,sin^2thetar =costheta,sin^2theta,
que depende de theta e não tende a 0 quando (x,y)to(0,0). Portanto R(x,y) não é o(raizx^2+y^2) e f não é diferenciável em (0,0).

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais em (0,0) por definição:
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto00-0h=0

Passo 5

Para (x,y)neq(0,0) usamos regra do quociente com
u(x,y)=x y^2, v(x,y)=x^2+y^2,
obtendo
partial fpartial x =ux,v-u,vxv^2 =y^2(x^2+y^2)-2x^2y^2(x^2+y^2)^2 =y^2(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2,
partial fpartial y =uy,v-u,vyv^2 =2xy,(x^2+y^2)-2xy^2,y(x^2+y^2)^2 =2x^3y(x^2+y^2)^2

Passo 6

Para ver se partial f/partial x é contínua em (0,0) comparamos
partial f/partial x(x,y) a partial f/partial x(0,0)=0.
Em polares
partial fpartial x(r,theta) =-sin^2thetacos2theta,
que não tende a 0 quando rto0 (depende de theta). Por exemplo, em y=x o valor é 0, mas em y=2x vale tfrac1225. Logo partial f/partial x não é contínua em (0,0).
De modo análogo,
partial fpartial y(r,theta) =2cos^3thetasintheta
também depende de theta e não tende a 0. Portanto partial f/partial y também não é contínua em (0,0).

Resposta

(a) f é contínua em (0,0), mas não é diferenciável em (0,0).
(b) As derivadas parciais existem em (0,0), porém não são contínuas nesse ponto.

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