Se
é a altura de uma montanha na posição
, em que direção, partindo de
se deveria caminhar para subir a montanha mais rapidamente ?
Passo 1
O enunciado nos dá a função de altura de uma montanha em cada ponto $x,y$ como \f(x,y)=2e{-x2+3y^2}\ e pede a direção que, partindo de $1,0$, sobe mais rapidamente — para isso usamos o conceito de gradiente, que aponta o máximo crescimento da função.
Passo 2
Precisamos calcular o gradiente de \f\, cujas componentes são as derivadas parciais \partial f/\partial x\ e \partial f/\partial y\. Pela regra da cadeia:
$$
\frac{\partial f}{\partial x}=2e{-x2+3y^2}\cdot(-2x)=-4x e{-x2+3y^2},
$$
\frac{\partial f}{\partial x}=2e{-x2+3y^2}\cdot(-2x)=-4x e{-x2+3y^2},
$$
$$
\frac{\partial f}{\partial y}=2e{-x2+3y^2}\cdot(6y)=12y e{-x2+3y^2}.
$$
\frac{\partial f}{\partial y}=2e{-x2+3y^2}\cdot(6y)=12y e{-x2+3y^2}.
$$
Passo 3
Agora avaliamos esse gradiente em $1,0$. Note que \e{-x2+3y^2}\ vira \e^{-1}\, então
$$
\nabla f(1,0)=\bigl(-4\cdot1,e{-1},;12\cdot0,e{-1}\bigr)=\Bigl(-\frac{4}{e},0\Bigr).
$$
\nabla f(1,0)=\bigl(-4\cdot1,e{-1},;12\cdot0,e{-1}\bigr)=\Bigl(-\frac{4}{e},0\Bigr).
$$
Passo 4
Para obter a direção de subida mais rápida precisamos do vetor unitário na direção do gradiente. O módulo de \bigl(-4/e,0\)\ é \4/e\, logo o vetor unitário é
$$
\frac{1}{4/e}\Bigl(-\frac{4}{e},0\Bigr)=(-1,0).
$$
\frac{1}{4/e}\Bigl(-\frac{4}{e},0\Bigr)=(-1,0).
$$
Resposta
O vetor unitário que indica a direção de subida mais íngreme a partir de (1,0) é (-1,0).