Determine o valor máximo da derivada direcional de f no ponto P e a direção em que ocorre:
(a) f(x, y)=2 x^2+3 y^2, P=(1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa descobrir o valor máximo da derivada direcional da função $ f(x, y) = 2x^2 + 3y^2 $ no ponto $ P = (1,1) $. Para isso, vamos usar conceitos de derivada direcional e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em uma direção qualquer é dada pelo produto escalar entre o gradiente da função e o vetor direção. O gradiente aponta na direção de maior crescimento da função.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de $ f $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
f
Calculando as derivadas:
nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
Então, o gradiente é:
partial fpartial x = 4x e partial fpartial y = 6y

Passo 4

No ponto $ P = (1,1) $, substituímos os valores de $ x $ e $ y $ no gradiente:
P = (1,1)

Passo 5

O valor máximo da derivada direcional é a norma do gradiente no ponto $ P $. A norma de um vetor $ (a, b) $ é dada por:
P
Então, calculando a norma de $ (4, 6) $:
(a, b)

Passo 6

A direção em que ocorre esse valor máximo é a direção do vetor gradiente normalizado. Para normalizar, dividimos cada componente do gradiente pela sua norma:
Direção = ( 42raiz13, 62raiz13 ) = ( 2raiz13, 3raiz13 ) çã

Resposta

O valor máximo da derivada direcional de $ f $ no ponto $ P = (1,1) $ é $ 2\sqrt{13} $ e ocorre na direção $ \left( \frac{2}{\sqrt{13}}, \frac{3}{\sqrt{13}} \right) $.

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