Determine o valor máximo da derivada direcional de
no ponto
e a direção em que ocorre:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa descobrir o valor máximo da derivada direcional da função $ f(x, y) = 2x^2 + 3y^2 $ no ponto $ P = (1,1) $. Para isso, vamos usar conceitos de derivada direcional e gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em uma direção qualquer é dada pelo produto escalar entre o gradiente da função e o vetor direção. O gradiente aponta na direção de maior crescimento da função.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de $ f $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
Calculando as derivadas:
Então, o gradiente é:
Passo 4
No ponto $ P = (1,1) $, substituímos os valores de $ x $ e $ y $ no gradiente:
Passo 5
O valor máximo da derivada direcional é a norma do gradiente no ponto $ P $. A norma de um vetor $ (a, b) $ é dada por:
Então, calculando a norma de $ (4, 6) $:
Passo 6
A direção em que ocorre esse valor máximo é a direção do vetor gradiente normalizado. Para normalizar, dividimos cada componente do gradiente pela sua norma:
Resposta
O valor máximo da derivada direcional de $ f $ no ponto $ P = (1,1) $ é $ 2\sqrt{13} $ e ocorre na direção $ \left( \frac{2}{\sqrt{13}}, \frac{3}{\sqrt{13}} \right) $.