Determine uma região do plano ab na qual a equação diferencial dada tenha uma única solução cujo gráfico passe pelo ponto
nessa região.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma região no plano $ ab $ onde a equação diferencial $ (b - a) , \frac{db}{da} = b + a $ tenha uma única solução que passe por um ponto específico $ (a_0, b_0) $.
Matéria envolvida: Equações diferenciais ordinárias (EDOs), mais especificamente, verificar as condições para existência e unicidade de soluções usando o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf.
O que vamos precisar: Analisar a equação diferencial para verificar onde as condições do teorema são satisfeitas, garantindo que haja uma única solução passando pelo ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais “amigável”. Queremos isolar $ \frac{db}{da} $:
Então, dividindo ambos os lados por $ b - a $:
Passo 3
Agora, vamos identificar as funções $ f(a, b) $ e verificar as condições do Teorema de Picard-Lindelöf. A fórmula geral da EDO é:
No nosso caso:
Para aplicar o teorema, $ f(a, b) $ e sua derivada parcial em relação a $ b $ devem ser contínuas na região considerada.
Passo 4
Vamos analisar onde $ f(a, b) $ é contínua. A função $ f(a, b) = \frac{b + a}{b - a} $ será contínua desde que o denominador não seja zero, ou seja:
Então, a região onde a solução é única deve excluir a linha $ b = a $.
Passo 5
Também precisamos verificar a derivada parcial de $ f(a, b) $ em relação a $ b $:
Essa derivada existe e é contínua sempre que $ b \neq a $.
Passo 6
Então, de acordo com o Teorema de Picard-Lindelöf, temos existência e unicidade da solução na região onde $ f(a, b) $ e $ \frac{\partial f}{\partial b} $ são contínuas. Isso ocorre para todo $ (a, b) $ no plano $ ab $ exceto onde $ b = a $.
Resposta
A região do plano $ ab $ onde a equação diferencial $ (b - a) \frac{db}{da} = b + a $ possui uma única solução passando pelo ponto $ (a_0, b_0) $ é todo o plano exceto a linha $ b = a $. Ou seja, onde $ b \neq a $.