Determine uma região do plano ab na qual a equação diferencial dada tenha uma única solução cujo gráfico passe pelo ponto
nessa região.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. A gente precisa encontrar uma região no plano $ ab $ onde a equação diferencial ab tem uma única solução que passa pelo ponto (a^2 + b^2) , b' = b^2. Para resolver isso, vamos usar o teorema da existência e unicidade, que nos ajuda a saber onde a solução é garantida e única.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais simples. Temos:
(a^2 + b^2) , dbda = b^2
Dividindo ambos os lados por a^2 + b^2, fica:
dbda = b^2a^2 + b^2
Agora, a equação está na forma padrão dbda = f(a, b), onde f(a, b) = b^2a^2 + b^2.

Passo 3

Para aplicar o teorema da existência e unicidade (também conhecido como Teorema de Picard-Lindelöf), precisamos verificar se a função f(a, b) e sua derivada parcial em relação a b, partial fpartial b, são contínuas na região considerada.

Passo 4

Vamos analisar a função f(a, b) = b^2a^2 + b^2. O denominador a^2 + b^2 é igual a zero somente quando a = 0 e b = 0. Isso significa que a função f(a, b) é contínua em todo o plano ab, exceto no ponto (0, 0), onde não está definida.

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial partial fpartial b:
partial fpartial b = 2b(a^2 + b^2) - b^2(2b)(a^2 + b^2)^2 = 2b a^2(a^2 + b^2)^2
Observamos que partial fpartial b também é contínua em todo o plano ab, exceto no ponto (0, 0), onde o denominador se anula.

Passo 6

Como tanto f(a, b) quanto partial fpartial b são contínuas em todo o plano ab exceto no ponto (0, 0), pelo Teorema de Picard-Lindelöf, a equação diferencial tem uma única solução que passa por qualquer ponto (a0, b0) na região onde a^2 + b^2 neq 0.

Resposta

A região do plano ab onde a equação diferencial (a^2 + b^2) , b' = b^2 possui uma única solução que passa pelo ponto (a0, b0) é todo o plano ab menos o ponto (0, 0). Ou seja, a^2 + b^2 neq 0.

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