Determine uma região do plano ab na qual a equação diferencial dada tenha uma única solução cujo gráfico passe pelo ponto
nessa região.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. A gente precisa encontrar uma região no plano $ ab $ onde a equação diferencial
tem uma única solução que passa pelo ponto
. Para resolver isso, vamos usar o teorema da existência e unicidade, que nos ajuda a saber onde a solução é garantida e única.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais simples. Temos:
Dividindo ambos os lados por
, fica:
Agora, a equação está na forma padrão
, onde
.
Passo 3
Para aplicar o teorema da existência e unicidade (também conhecido como Teorema de Picard-Lindelöf), precisamos verificar se a função
e sua derivada parcial em relação a
,
, são contínuas na região considerada.
Passo 4
Vamos analisar a função
. O denominador
é igual a zero somente quando
e
. Isso significa que a função
é contínua em todo o plano
, exceto no ponto
, onde não está definida.
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial
:
Observamos que
também é contínua em todo o plano
, exceto no ponto
, onde o denominador se anula.
Passo 6
Como tanto
quanto
são contínuas em todo o plano
exceto no ponto
, pelo Teorema de Picard-Lindelöf, a equação diferencial tem uma única solução que passa por qualquer ponto
na região onde
.
Resposta
A região do plano
onde a equação diferencial
possui uma única solução que passa pelo ponto
é todo o plano
menos o ponto
. Ou seja,
.