Resolva o problema a seguir
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. Isso pertence à matéria de equações diferenciais, mais especificamente a equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos precisar usar métodos para equações de segunda ordem e entender como lidar com coeficientes que mudam com a variável independente, que nesse caso é o
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 3x para facilitar o trabalho. Ficaria assim:
Isso torna a equação mais manejável e nos ajuda a ver melhor os coeficientes das derivadas.
Passo 3
Agora, vamos tentar encontrar uma solução do tipo
, onde
é uma constante que vamos determinar. Essa é uma técnica comum quando lidamos com equações diferenciais de coeficientes variáveis que têm termos polinomiais.
Passo 4
Calculando as derivadas de
:
Vamos substituir essas em nossa equação simplificada.
Passo 5
Substituindo na equação:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos juntar os termos semelhantes. Observamos que os primeiros dois termos têm
e o último tem
. Para que a equação seja igual a zero para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero.
Então, temos:
A segunda equação não faz sentido a menos que o coeficiente seja zero, o que não é o caso aqui. Isso indica que nossa suposição inicial de
pode não ser a melhor abordagem para esta equação.
Passo 7
Vamos tentar outra estratégia usando um fator integrante. Reescrevemos a equação original:
Dividindo por
:
Para simplificar, suponhamos que a solução possa ser escrita como
, onde
é uma função a ser determinada.
Passo 8
Identificamos
. Calculamos a integral:
Então, o fator integrante é:
Passo 9
Multiplicamos toda a equação por esse fator integrante:
Simplificando:
Passo 10
Após essa multiplicação, a equação se torna mais fácil de integrar. Continuamos o processo de integração para encontrar a solução geral da equação.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.