Resolva o problema a seguir
Passo 1
A equação diferencial dada é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes variáveis:
4 x^{2} y’’ + 2 x y’ - x y = 0
O conteúdo envolve encontrar uma transformação que reduza esses coeficientes variáveis a uma equação de coeficientes constantes. Vamos usar a mudança de variável t = 2\sqrt{x}.
Passo 2
Definimos t = 2\sqrt{x}, logo x = t^{2}/4. Precisamos relacionar y’(x) e y’’(x) com derivadas em relação a t. Pela regra da cadeia temos:
então
Passo 3
Substituímos essas expressões na equação original:
4 x^{2} y’’ = 4\frac{t{4}}{16}\Bigl(\frac{4}{t{2}}y_{tt} - \frac{4}{t^{3}}y_{t}\Bigr) = t^{2}y_{tt} - t y_{t},
2 x y’ = 2\frac{t^{2}}{4}\Bigl(\frac{2}{t}y_{t}\Bigr) = t y_{t},
-x y = -\frac{t^{2}}{4}y.
Somando tudo: t^{2}y_{tt} - t y_{t} + t y_{t} - \frac{t^{2}}{4}y = 0, que simplifica para
Passo 4
Dividindo por t^{2} obtemos a equação de coeficientes constantes em t:
Passo 5
Resolvemos essa equação usando a equação característica r^{2} - \tfrac14 = 0, cujas raízes são r = \pm \tfrac12. Assim a solução geral em t é
Passo 6
Voltando à variável original x, lembrando que t = 2\sqrt{x}, temos t/2 = \sqrt{x}, então
y(x) = C_{1}e^{\sqrt{x}} + C_{2}e^{-\sqrt{x}}.
Resposta
y(x) = C_{1}e^{\sqrt{x}} + C_{2}e^{-\sqrt{x}}