Determine uma região do plano
na qual a equação diferencial dada tenha uma única solução cujo gráfico passe pelo ponto
nessa região.
Passo 1
O exercício pede para determinar uma região no plano
em que o problema de valor inicial
tenha existência e unicidade da solução cuja curva passe por
. O conteúdo envolvido é o Teorema de Existência e Unicidade de Picard–Lindelöf, que exige verificar a continuidade de
e de
.
Passo 2
Temos
. Vamos calcular a derivada parcial em relação a
:
Como ambas as funções
e
são polinômios em
e
, elas são contínuas em todo o plano
.
Passo 3
Pelo Teorema de Existência e Unicidade, se
e
são contínuas numa região aberta que contém o ponto inicial
, existe uma única solução do problema de valor inicial nesse conjunto.
Passo 4
Logo, podemos escolher qualquer região aberta ao redor de
. Em particular, uma boa escolha é um retângulo aberto:
com constantes arbitrárias
e
.
Resposta
Uma região adequada é
D = { (x,y) ∈ ℝ² : |x − x₀| < a, |y − y₀| < b },
com quaisquer constantes a>0 e b>0, pois em D tanto f(x,y)=2xy² quanto ∂f/∂y=4xy são contínuas, garantindo existência e unicidade da solução.