Determine uma região do plano x y na qual a equação diferencial dada tenha uma única solução cujo gráfico passe pelo ponto (x0, y0) nessa região.
y^prime=2 x y^2

Passo 1

O exercício pede para determinar uma região no plano (x,y) em que o problema de valor inicial
y'=2xy^2, y(x0)=y0
tenha existência e unicidade da solução cuja curva passe por (x0,y0). O conteúdo envolvido é o Teorema de Existência e Unicidade de Picard–Lindelöf, que exige verificar a continuidade de f(x,y) e de partial f/partial y.

Passo 2

Temos f(x,y)=2xy^2. Vamos calcular a derivada parcial em relação a y:
partial fpartial y(x,y)=4xy
Como ambas as funções f(x,y) e 4xy são polinômios em x e y, elas são contínuas em todo o plano R^2.

Passo 3

Pelo Teorema de Existência e Unicidade, se f e partial f/partial y são contínuas numa região aberta que contém o ponto inicial (x0,y0), existe uma única solução do problema de valor inicial nesse conjunto.

Passo 4

Logo, podemos escolher qualquer região aberta ao redor de (x0,y0). Em particular, uma boa escolha é um retângulo aberto:
D=l(x,y)inR^2: |x-x0|
com constantes arbitrárias a>0 e b>0.

Resposta

Uma região adequada é
D = { (x,y) ∈ ℝ² : |x − x₀| < a, |y − y₀| < b },
com quaisquer constantes a>0 e b>0, pois em D tanto f(x,y)=2xy² quanto ∂f/∂y=4xy são contínuas, garantindo existência e unicidade da solução.

Exercícios relacionados